Lezioni di analisi matematica/Capitolo 12/Paragrafo 78

by Guido Fubini

Capitolo 12 - Integrali singolari

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Guido Fubini - Lezioni di analisi matematica (1920)

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§ 78. — Integrali singolari.

$\alpha$) Finora ci siamo limitati ad integrali di funzioni continue nell'intervallo considerato. Vogliamo ora definire gli integrali di una funzione $f(x)$ che nell'intervallo ($a$, $b$) che si considera dappertutto continua, eccettuato un numero finito di punti singolari.

Ciò, per es., avviene se volessimo studiare l'espressione $\int _{0}^{1}{\frac {1}{\sqrt {x}}}dx$, poichè ${\frac {1}{\sqrt {x}}}$ è singolare per $x=0$. Osserveremo che, se $\epsilon$ è un numero positivo piccolo a piacere, ${\frac {1}{\sqrt {x}}}$ è continua nell'intervallo $\epsilon .....1$; cosicchè ha un significato perfettamente determinato lo $\int _{\epsilon }^{1}{\frac {1}{\sqrt {x}}}dx$, che, calcolato coi soliti metodi, si riconosce uguale a $(2-2{\sqrt {\epsilon }})$.

Calcoliamo ora il

$\lim _{\epsilon =0}\int _{\epsilon }^{1}{\frac {1}{\sqrt {x}}}dx=\lim _{\epsilon =0}(2-2{\sqrt {\epsilon }})$.

Tale limite esiste ed è uguale a $2$.

E noi porremo per definizione

$\int _{0}^{1}{\frac {1}{\sqrt {x}}}dx=\lim _{\epsilon =0}\int _{epsilon}^{1}{\frac {1}{\sqrt {x}}}dx=2$.

Più in generale, se nello $\int _{a}^{b}f(x)dx$ è, per esempio, $a<b$ e la $f(x)$ è singolare in $a$, ma è continua nell'intervallo $a+\epsilon ,.....b$, dove $\epsilon$ è un numero positivo piccolo a piacere ($\epsilon <b-a$), allora noi cercheremo il $\lim _{\epsilon =0}\int _{a+\epsilon }^{b}f(x)dx$. Se questo limite esiste ed è finito, porremo per definizione

$\int _{b}^{a}f(x)=\lim _{\epsilon =0}\int _{a+\epsilon }^{b}f(x)dx$.

Se invece tale limite non esiste o non è finito $\left({\text{come, p. es., avviene di}}\lim _{\epsilon =0}\int _{a+\epsilon }^{b}{\frac {dx}{x-a}}\right)$, tale integrale sarà per noi un simbolo privo di significato. Analogamente si procederebbe, se $f(x)$ fosse singolare in $b$. Se $f(x)$ diventa singolare in un punto $c$¹ interno ad ($a$, $b$), allora se esitono, secondo le definizioni ora poste, gli integrali $\int _{a}^{c}f(x)dx$ e $\int _{c}^{b}f(x)dx$, si pone per definizione

$\int _{a}^{b}f(x)dx=\int _{a}^{c}f(x)dx+\int _{c}^{b}f(x)dx$.

$\beta$) Può esistere una funzione $f(x)$ che è singolare in $c$, pure essendo finita: p. es. una funzione discontinua nel punto $c$. Il caso più notevole è che siano finiti il $\lim _{x=c-}f(x)$ ed il $\lim _{x=c+0}f(x)$, ma che tali limiti sieno differenti l'uno dall'altro. Ciò, p. es., avviene per la funzione ${\text{sen}}x+{\frac {x-c}{|x-c|}}$. In tal caso la nostra definizione si può esporre in forma più semplice. Se, p. es., $a<b$, consideriamo in ($a$, $c$) una funzione $f_{1}(x)$ che, per$x\not =c$ sia uguale ad $f(x)$ e nel punto $c$ sia uguale al $\lim _{x=c-0}f(x)$ ed in ($c$, $b$) una funzione $f_{2}(x)$ che nel punto $c$ sia uguale al $\lim _{x=c+0}f(x)$, e nei punti $x\not =c$ sia uguale ad $f(x)$. Sarà:

$\int _{a}^{b}f(x)dx=\int _{a}^{c}f_{1}(x)dx+\int _{c}^{b}f_{2}(x)dx$.

per l'esempio ora citato sarà se $a<c<b$

$\int _{a}^{b}{\begin{Bmatrix}{\text{sen}}x+{\frac {x-c}{|x-c|}}\end{Bmatrix}}dx=\int _{a}^{c}(-1+{\text{sen}}x)dx+\int _{c}^{b}(+1+{\text{sen}}x)dx$.

$\gamma$} Se $f(x)$ è definita nell'intervallo $(a$, $+\infty$) e se esiste ed è finito il $\lim _{k=+\infty }\int _{a}^{k}f(x)dx$, noi porrremo per definizione:

$\int _{a}^{\infty }f(x)dx=\lim _{k=\infty }\int _{a}^{k}f(x)dx$.

Analogamente, se $f(x)$ è definita per $x\leq \ a$, porremo per definizione

$\int _{-\infty }^{a}f(x)dx=\lim _{k=-\infty }\int _{k}^{a}f(x)dx$,

se il limite del secondo membro esiste ed è finito. Infine porremo, se $f(x)$ è definita per ogni valore della $x$,

$\int _{-\infty }^{+\infty }f(x)dx=\lim _{h=-\infty k=+\infty }\int _{h}^{k}f(x)dx$,

se il limite del 2° membro esiste ed è finito.

Così, p. es., essendo

$\lim _{k=+\infty }\int _{1}^{k}{\frac {1}{x^{2}}}dx=\lim _{k=\infty }\left[{\frac {1}{x}}\right]_{1}^{k}=1$,

è:

$\int _{1}^{\infty }{\frac {1}{x^{2}}}dx=1$.

Così, poichè $\lim _{k=\infty }\int _{0}^{h}{\text{cos}}\,x\,dx=\lim _{k=\infty }({\text{sen}}\,k)$ non esiste non ha alcun significato l'espressione $\int _{0}^{\infty }{\text{cos}}\,x\,dx$².

Agli integrali di questo paragrafo si possono in molti casi estendere le regole di integrazione per somma, per sostituzione, per parti.

Così $\int _{a}^{b}{\frac {1}{(x-a)^{n}}}dx$ esiste, se esiste ed è finito il $\lim _{\epsilon =0}\int _{a+\epsilon }^{b}{\frac {1}{(x-a)^{n}}}dx$ (ove $\epsilon$ abbia il segno di $b-a$) cioè il $\lim _{\epsilon =0}\left[{\frac {(b-a)^{1-n}}{1-n}}-{\frac {\epsilon ^{1-n}}{1-n}}\right]$ se $n\not =1$, oppure il $\lim _{\epsilon =0}\left[\log |b-a|-\log |\epsilon |\right]$ se $n=1$. Questo limite è infinito per $n\geq \,1$, finito per $n<1$. Sia $f(x)$ una funzione continua nell'intervallo ($a$, $b$), il punto $a$ al più escluso</math>; esista un intorno ($a$, $c$ di $a$ [$c$ compreso tra $a$ e $b$], tale che in esso $|f(x)|<k{\frac {1}{(x-a)^{n}}}$ con $k$, $n$ costanti, ed $n<1$. Definiamo due funzioni $\varphi (x)$ e $\Psi (x)$ ponendo $\varphi (x)=f(x)$ e $Psi(x)=0$ nei punti ove $f(x)>0$; ponendo $\Psi (x)=-f(x)$, $\varphi (x)=0$ nei punti ove $f(x)\leq \ ,0$. Le $\varphi (x)$, $\Psi (x)$ saranno funzioni continue positive o nulle (escluso al più il punto $x=a$), non superiori ad $|f(x)|$. Ora sia $\int _{a+\epsilon }^{b}\varphi (x)dx$ che $\int _{a+\epsilon }^{b}\Psi (x)dx$ variano nello stesso verso quando $\epsilon$ (che ha il segno di $b-a$) tende a zero, e perciò tendono per $\epsilon =0$ ad un limite. Poichè p. es. $\int _{a+\epsilon }^{b}\varphi (x)dx=\int _{a+\epsilon }^{c}\varphi (x)dx+\int _{c}^{b}\varphi (x)dx$ e $\varphi (x)$ nell'intervallo ($a+\epsilon$, $c$) non super $|f(x)|\leq \,{\frac {k}{(x-a)^{n}}}$ [se $|\epsilon |<|e-a|$], lo $\int _{a+\epsilon }^{c}\varphi (x)dx$ non supera in valore assoluto l'integrale di ${\frac {k}{(x-a)^{n}}}$, che tende per $\epsilon =0$ a un limite finito. Perciò $\int _{a+\epsilon }^{b}\varphi (x)dx$ tende per $\epsilon =0$ a un limite finito, che sarà il valore di $\int _{a}^{b}\varphi (x)dx$; altrettanto dicasi di $\int _{a+\epsilon }^{b}\Psi (x)dx$. Poichè $f(x)=\varphi (x)-\Psi (x)$, lo integrale $\int _{a}^{b}f(x)dx$ esisterà dunque, se in un intorno di a vale la

$|f(x)|\leq \,{\frac {k}{(x-a)^{n}}}$($k$, $n$ costanti; $n<1$)

ossia, come si suol dire, se $\mathrm {f(x)}$ è per $\mathrm {x-a=0}$ infinito di ordine non maggiore di $\mathrm {n<1}$.

In modo analogo si prova che se, per $x$ abbastanza grande, la funzione continua $f(x)$ soddisfa alla $|f(x)|\leq \,k{\frac {1}{x^{2}}}<math>(<math>k$, $n$ cost.; $n>1$), ossia se $\mathrm {f(x)}$ per $\mathrm {x=\infty }$ diventa infinitesima di ordine non minore di $\mathrm {n>1}$, allora esiste lo $\mathrm {\int _{a}^{\infty }f(x)dx}$.

Osservazione.

Certe frazioni razionali si possono integrare in modo semplice e diretto.

Poniamo, p. es., $I_{n}=\int {\frac {dx}{(x^{2}+1)^{n}}}$ dove $n$ è un intero positivo. Integrando per parti si trova:

$I_{n}={\frac {x}{(x^{2}+1)^{n}}}+2n\int {\frac {x^{2}dx}{(x^{2}+1)^{n+1}}}={\frac {x}{(x^{2}+1)^{n}}}+2n\int {\frac {(1+x^{2})dx}{(x^{2}+1)^{n+1}}}-$

$-2n\int {\frac {dx}{(x^{2}+1)^{n+1}}}={\frac {x}{(x?2+1)^{n}}}+2\,n\,I_{n}-2\,n\,I_{n}+{\text{cost.}}$

donde:

$I_{n+1}={\frac {1}{2n}}{\frac {x}{(x^{2}+1)^{n}}}+{\frac {2n-1}{2n}}I_{n}+{\text{cost.}}$.

Ora, essendo $I_{1}={\text{arctg}}\,x$ la formola precedente per $n=1$, $2$, $3$, ecc. permette di calcolare successivamente $I_{2}$, $I_{3}$, ecc. (cfr. la seconda formola di pag. 245).

Note

1. Si può porre una definizione analoga nel caso che vi sia un numero finito di punti singolari.
2. Si lascia al lettore di completare le precedenti definizioni, per il caso che nell'intervallo ($a$, $+\infty$) o ($-\infty$, $a$) o ($-\infty$, $\infty$), vi fosse un numero finito di punti singolari per $f(x)$.