Lezioni di analisi matematica/Capitolo 12/Paragrafo 77

Capitolo 12 - Integrazione di alcune funzioni trascendenti o irrazionali

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Capitolo 12 - Integrazione di alcune funzioni trascendenti o irrazionali
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§ 77. — Integrazione di alcune funzioni trascendenti o irrazionali.

) Sia una funzione razionale (quoziente di polinomi) nella variabile . Si voglia calcolarne l'integrale . Posto , questo integrale si riduce all'integrale (che noi sappiamo calcolare) della funzione razionale .

) Sia una funzione razionale delle funzioni goniometriche , , , , ecc. della . Le formole , , ecc. ci permettiamo di trasformarla in una funzione razionale delle sole variabili , . Per calcolare [p. 256 modifica]l'integrale di una tale funzione, si ponga , cosicchè

,

                    ;          .

Il nostro integrale diventerà:

.

e si ridurrà così all'integrale, che sappiamo eseguire, della funzione razionale

.

Oss. Se la è una funzione razionale delle sole , il calcolo diventa più rapido ponendo , e quindi , , .

) Si voglia calcolare:

(1)                    (, , cost.)

dove è una funzione razionale di e , e quindi irrazionale nella . Distingueremo varii casi:

) Supposto , porremo , , e

(2)                         ,

dove è una nuova variabile. Quadrando e risolvendo rispetto alla , si trova:

(3)                         ;     

e quindi:

(3)1                         ,

e, per (2):

(3)2     .

In virtù delle (3) e della regola di integrazione per sostituzione, l'integrale (1) diventa

;

[p. 257 modifica]cioè diventa l'integrale di una funzione razionale della , che noi sappiamo calcolare.

) Si calcoli ora (1) nell'ipotesi , Se , sono le radici di , è (posto ):

.

Questo polinomio dovendo essere positivo, affinchè (1) abbia significato reale, dovrà essere:

(4)                    ,

cosicchè le , non potranno essere complesse coniugate, nè uguali e reali1. Le e saranno quindi reali e distinte. Dalla (4) si deduce che e sono di segno contrario, e quindi che e hanno lo stesso segno, ossia che si può porre

,

dove è un'altra variabile reale. Risolvendo rispetto ad si ha:

     ;          donde:          ,

,

cosicchè l'integrale (1) diventa:

,


che è un integrale di una funzione razionale delle , e che noi quindi sappiamo calcolare2.

) Il caso è (per ) un caso particolare dell'integrale

     {{spazi|10}( intero positivo); (.

Questo integrale, posto , , , diventa l'integrale [p. 258 modifica]di una funzione razionale della : integrale che quindi sappiamo calcolare.

Oss. Il caso di una funzione razionale nella , , , , .....(, , , ..... interi positivi) si riduce subito al precedente, assumendo per il minimo comune multiplo di , , , .....

) Calcoliamo l'integrale di una funzione razionale di . Posto e quindi , , questo integrale diventa , che è l'integrale di una funzione razionale di e di , cioè un integrale del tipo che noi abbiamo già imparato a calcolare in ).

) Integrali binomii, — Si voglia calcolare l'integrale ove , sono costanti ed , , numeri razionali.

) Se è intero, si ponga , indicando con il minimo comune multiplo dei denominatori di , , che per ipotesi sono numeri tratti (cfr, ), e ci si riduce al solito caso dell'integrale di una funzione razionale.

{{smaller|) Se è una funzione (con , interi), posto

,

il nostro integrale diventa:

,

che è l'integrale di una funzione razionale, e noi sappiamo calcolare, se è intero.

Possiamo trovare un altro caso, in cui possiamo calcolare il nostro integrale. Basti osservare che, posto , esso diventa

con

che, per quanto dicemmo in sappiamo calcolare se è intero cioè se è intero, cioè se è intero.

In conclusione sappiamo calcolare il precedente integrale, riducendolo al calcolo di una funzione razionale, quando è intero uno dei tre numeri , oppure , oppure .

Oltre al quadro del § 74, , pag. 244, noi ne daremo qui un altro che riassume i più importanti risultati ottenuti fin qui. [p. 259 modifica]QUADRO DEI METODI DI INTEGRAZIONE (cfr. pag. 244 e 190).

(integrazione per somma) cost. (integrazione per sostituzione) cost. (integrazione per parti).

Se indica nei singoli casi una funzione razionale della variabile, o delle variabili da cui dipende

Si calcola scomponendo nella somma di frazioni semplici di un polinomio, e di una derivata.

Si calcola introducendo come nuova variabile di integrazione . Si può anche porre , se in entrano solo e potenze ad esponenti pari di , .

, ; , ( intero positivo)

Si calcola introducendo come nuova variabile di integrazione

3

, , cost.

Si calcola, assumendo a variabile di integrazione quella definita dalla se se , ed , sono le radici di .

;

Si riduce al caso precedente assumendo a variabile di integrazione

Si calcola assumendo a variabile di integrazione

Integrali binomii

cfr. pag. 258.

Note

  1. Se , con , o , allora .
  2. In <math<\gamma^1</math>) e ) l'indeterminazione del segno per corrisponde all'indeterminazione del segno per .
  3. Se capitano parecchi radicali , , ecc. si porrà , dove è il minimo comune multiplo degli indici , , ecc.