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integrali

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super $|f(x)|\leq \,{\frac {k}{(x-a)^{n}}}$ [se $|\epsilon |<|e-a|$], lo $\int _{a+\epsilon }^{c}\varphi (x)dx$ non supera in valore assoluto l'integrale di ${\frac {k}{(x-a)^{n}}}$, che tende per $\epsilon =0$ a un limite finito. Perciò $\int _{a+\epsilon }^{b}\varphi (x)dx$ tende per $\epsilon =0$ a un limite finito, che sarà il valore di $\int _{a}^{b}\varphi (x)dx$; altrettanto dicasi di $\int _{a+\epsilon }^{b}\Psi (x)dx$. Poichè $f(x)=\varphi (x)-\Psi (x)$, lo integrale $\int _{a}^{b}f(x)dx$ esisterà dunque, se in un intorno di a vale la

$|f(x)|\leq \,{\frac {k}{(x-a)^{n}}}$($k$, $n$ costanti; $n<1$)

ossia, come si suol dire, se $\mathrm {f(x)}$ è per $\mathrm {x-a=0}$ infinito di ordine non maggiore di $\mathrm {n<1}$.

In modo analogo si prova che se, per $x$ abbastanza grande, la funzione continua $f(x)$ soddisfa alla $|f(x)|\leq \,k{\frac {1}{x^{2}}}<math>(<math>k$, $n$ cost.; $n>1$), ossia se $\mathrm {f(x)}$ per $\mathrm {x=\infty }$ diventa infinitesima di ordine non minore di $\mathrm {n>1}$, allora esiste lo $\mathrm {\int _{a}^{\infty }f(x)dx}$.

Osservazione.

Certe frazioni razionali si possono integrare in modo semplice e diretto.

Poniamo, p. es., $I_{n}=\int {\frac {dx}{(x^{2}+1)^{n}}}$ dove $n$ è un intero positivo. Integrando per parti si trova:

$I_{n}={\frac {x}{(x^{2}+1)^{n}}}+2n\int {\frac {x^{2}dx}{(x^{2}+1)^{n+1}}}={\frac {x}{(x^{2}+1)^{n}}}+2n\int {\frac {(1+x^{2})dx}{(x^{2}+1)^{n+1}}}-$

$-2n\int {\frac {dx}{(x^{2}+1)^{n+1}}}={\frac {x}{(x?2+1)^{n}}}+2\,n\,I_{n}-2\,n\,I_{n}+{\text{cost.}}$

donde:

$I_{n+1}={\frac {1}{2n}}{\frac {x}{(x^{2}+1)^{n}}}+{\frac {2n-1}{2n}}I_{n}+{\text{cost.}}$.

Ora, essendo $I_{1}={\text{arctg}}\,x$ la formola precedente per $n=1$, $2$, $3$, ecc. permette di calcolare successivamente $I_{2}$, $I_{3}$, ecc. (cfr. la seconda formola di pag. 245).