§ 78. — Integrali singolari.
) Finora ci siamo limitati ad integrali di funzioni continue nell'intervallo considerato. Vogliamo ora definire gli integrali di una funzione
che nell'intervallo (
,
) che si considera dappertutto continua, eccettuato un numero finito di punti singolari.
Ciò, per es., avviene se volessimo studiare l'espressione
, poichè
è singolare per
. Osserveremo che, se
è un numero positivo piccolo a piacere,
è continua nell'intervallo
; cosicchè ha un significato perfettamente determinato lo
, che, calcolato coi soliti metodi, si riconosce uguale a
.
Calcoliamo ora il
.
Tale limite esiste ed è uguale a
.
E noi porremo per definizione
.
Più in generale, se nello
è, per esempio,
e la
è singolare in
, ma è continua nell'intervallo
, dove
è un numero positivo piccolo a piacere (
), allora noi cercheremo il
. Se questo limite esiste ed è finito, porremo per definizione
.
Se invece tale limite non esiste o non è finito
, tale integrale sarà per noi un simbolo privo di significato.