Lezioni di analisi matematica/Capitolo 12/Paragrafo 79

by Guido Fubini

Capitolo 12 - Integrazione per serie

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Guido Fubini - Lezioni di analisi matematica (1920)

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§ 79. — Integrazione per serie.

$\alpha$) Nel paragrafo precedente abbiamo dato, partendo da alcune formole di calcolo differenziale, metodi che in qualche caso particolare servono a calcolare gli integrali di una funzione continua. Ma poichè ogni funzione continua possiede integrali, sorge spontanea la domanda: Come si calcolano, almeno approssimativamente, gli integrali di una funzione continua, al calcolo di quali non bastino i metodi esposti nei precedenti paragrafi? L'importanza di questa domanda si rileva tosto, apena si ricordi che anche l'integrazione di una funzione razionale richiede la risoluzione di un'equazione algebrica; che noi sappiamo costruire un calcolo spesso ben lungo; anche se si vuole soltanto una piccola approssimazione. Di più si noti che quando, p. es., diciamo che $\int {\frac {1}{x}}dx=\log |x|+C$ e asseriamo perchoò che sappiamo integrare ${\frac {1}{x}}$, ciò è dovuto soltanto al fatto che nelle tavole logaritmiche hanno per l'integrale <math<\frac{1}{x} dx</math>.

Varii sono i metodi a tal fine, e di essi noi parleremo anche in altri capitoli. Per ora parleremo soltanto del metodo che ricorre agli sviluppi in serie . Il teorema su cui si basa tale procedimento è il seguente:

$\beta$) Se nell'intervallo finito (a, b) la serie di funzioni continue

$f(x)=u_{1}(x)+u_{2}(x)+u_{3}(x)+.....=\Sigma \,u_{n}\,\,\,\,\,(1)$

è totalmente convergente, allora (per $\mathrm {a\leq \,x\leq \,b}$) lo $\mathrm {\int ^{x}f(x)dx}$ esiste ed è uguale proprio alla sere degli integrali

$F(x)=\int _{a}^{x}u_{1}(x)dx+\int _{a}^{x}u_{2}(x)dx+\int _{a}^{x}u_{3}(x)dx+.....\,\,$ (2)

Didivederemo la dimostrazione in 3 parti:

1° La serie (2) converge. Infatti, se $M_{n}$ è il massimo di $|u_{n}(x)|$, la nostra ipotesi equivale a questa che la serie $\Sigma _{n}M_{n}$ converge. Dalla $|u_{n}(x)\leq \,M_{n}$ segue (§ 74, pag. 243) che

$|\int _{a}^{x}u_{n}(x)dx|\leq M_{n}|x-a|$;

dunque la serie (2) converge assolutamente, perchè così avviene della $\Sigma M_{n}|x-a|$, ottenuta moltiplicando per $|x-a|$ la serie convergente $\Sigma \,M_{n}$.

2° La serie (2) è un integrale indefinito di $\mathrm {f(x)}$. Infatti la serie (1), ottenuta derivando (2) termine a termine, è totalmente convergente, e pertanto (§ 65, pag. 206) è la derivata di (2); cioè (2) è un integrale indefinito di $f(x)$.

3° La (2) vale proprio $\mathrm {\int _{a}^{x}f(x)dx}$. Essendo

$F(x)=\int f(x)dx$, è $\int _{a}^{x}f(x)dx=F(x)-F(a)$.

Ora, ponendo $x=a$ in (2), i termini di (2) si annullano. Pertanto $F(a)=0$; e quindi $\int _{a}^{x}f(x)dx=F(x)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,$. c. d. d.¹

Si deduce tosto la seguente osservazione notevolissima. Se una funzione $f(x)$ non si sa integrare coi metodi da noi svolti, ma se si sa sviluppare $f(x)$ in una serie totalmente convergente, i cui termini hanno integrali noti p facilmente calcolabili, allora si può avere un valore approssimato di $\int _{a}^{b}f(x)dx$, calcolando la somma degli integrali dei primi $n$ termini della serie considerare, se <math<n</math> è abbastanza grande. Nei casi più comuni basta lo sviluppo in serie di taylor. E si noti che a pag. 218 e seg. proprio con questo metodo abbiamo trovato le serie così comode per calcolare numericamente le funzioni

Esempio.

Voglio calcolare il tempo $T$ impiegato da un pendolo $OP$ che oscilla attorno $O$ nel passare dalla posizione $OP$ alla posizioneFig. 31. $OQ$ simmetrica di $OP$ rispetto alla verticale $OV$. Detto $\theta$ l'angolo di una retta $OM$ con $OV$, questo angolo durante l'oscillazione varierà da un minimo di $-\alpha$ ad un massimo $\alpha =V(O)Q$ (fig. 31), Posto $OP=l$ la forza viva del pendolo, quando esso si trova in $OM$, è data da ${\frac {1}{2}}ml^{3}{\frac {d\theta ^{2}}{dt^{2}}}$, se la massa vale $m$, e $t$ indica il tempo. Questa forza viva è uguale al lavoro

$mgl({\text{cos}}\,\theta -{\text{cos}}\,\alpha )$

eseguito dal pendolo nel passare dal piano orizzontale a cui appartiene $P$ al piano orizzontale cui appartiene $M$ ($g=$ costante di gravità). Quindi:

${\frac {m}{2}}l^{2}{\frac {d\theta ^{2}}{dt^{2}}}=mg({\text{cos}}\,\theta -{\text{cos}}\,\alpha )l$, donde $t={\sqrt {\frac {l}{2g}}}\int {\frac {d\theta }{\sqrt {{\text{cos}}\,\theta -{\text{cos}}\,\alpha }}}$;

e quindi $T={\sqrt {\frac {l}{2g}}}\int _{-\alpha }^{\alpha }{\frac {d\theta }{\sqrt {{\text{cos}}\,\theta -{\text{cos}}\,\alpha }}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {l}{g}}}\int _{-\{alpha}^{\alpha }{\frac {d\theta }{\sqrt {{\text{sen}}^{2}\,{\frac {\alpha }{2}}-{\text{sen}}^{2}{\frac {\theta }{2}}}}}$.

Posto ${\text{sen}}{\frac {\theta }{2}}={\text{sen}}{\frac {\alpha }{2}}{\text{sen}}\varphi$, si ottiene

$T={\sqrt {\frac {l}{g}}}\int _{-{\frac {\pi }{2}}}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {d\varphi }{\sqrt {1-h^{2}{\text{sen}}^{2}\varphi }}}$,

dove si è posto $h={\text{sen}}{\frac {\alpha }{2}}$. È quindi $|h|<1$,

${\frac {1}{\sqrt {1-h^{2}{\text{sen}}^{2}\varphi }}}=(1-h^{2}{\text{sen}}^{2}\varphi )^{-{\frac {1}{2}}}=$

$=1+{\frac {1}{2}}h^{2}{\text{sen}}^{2}\varphi +{\frac {1.3}{2^{2}\lfloor {2}}}h^{4}{\text{sen}}^{4}\varphi +{\frac {1.3.5}{2^{2}\lfloor {3}}}h^{6}{\text{sen}}^{6}\varphi +.....$

$T={\sqrt {\frac {l}{g}}}\left\{\int _{\frac {\pi }{2}}^{\frac {\pi }{2}}\,d\,\varphi +{\frac {1}{2}}h^{2}\int _{-{\frac {\pi }{2}}}^{\frac {\pi }{2}}\,{\text{sen}}^{2}\,\varphi \,d\,\varphi +\right.$
$\left.+{\frac {1.3}{2^{2}\lfloor {2}}}h^{4}\int _{\frac {\pi }{2}}^{\frac {\pi }{2}}{\text{sen}}^{4}\,\varphi \,d\,\varphi +{\frac {1.3.5}{2^{3}\lfloor {3}}}\int _{\frac {\pi }{2}}^{\frac {\pi }{2}}{\text{sen}}^{6}\varphi \,d\,\varphi +.....\right\}$

Se $\alpha$ è così piccolo da poter tener conto del solo primo termine, si trova la formola classica $T=\pi {\sqrt {\frac {l}{g}}}$.

Nel caso generale invece è

$T=\pi {\sqrt {\frac {l}{g}}}\left\{1+{\frac {1}{2^{2}}}h^{2}+\left({\frac {1.3}{2?2\lfloor {2}}}\right)^{2}h^{4}+\left({\frac {1.3.5}{2^{3}\lfloor {3}}}\right)^{2}h^{6}+...\right\}$

Qual è p. es. l'errore commesso se $\alpha$ non supera l'angolo di $10$ gradi, quando si tenga conto del solo primo termine?

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Note

1. Non vale un teorema analogo per integrali indefiniti; e ciò, perché le costanti arbitrarie che figurano nell'integrale indefinito di ogni termine di (1) potrebbero esser scelte in modo che la serie $\left[\int u_{1}(x)dx+C_{2}\right]+\left[\int u_{2}(x)dx+C_{2}\right]+...$ sia divergente.