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capitolo xii — § 78

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se il limite del secondo membro esiste ed è finito. Infine porremo, se $f(x)$ è definita per ogni valore della $x$,

$\int _{-\infty }^{+\infty }f(x)dx=\lim _{h=-\infty k=+\infty }\int _{h}^{k}f(x)dx$,

se il limite del 2° membro esiste ed è finito.

Così, p. es., essendo

$\lim _{k=+\infty }\int _{1}^{k}{\frac {1}{x^{2}}}dx=\lim _{k=\infty }\left[{\frac {1}{x}}\right]_{1}^{k}=1$,

è:

$\int _{1}^{\infty }{\frac {1}{x^{2}}}dx=1$.

Così, poichè $\lim _{k=\infty }\int _{0}^{h}{\text{cos}}\,x\,dx=\lim _{k=\infty }({\text{sen}}\,k)$ non esiste non ha alcun significato l'espressione $\int _{0}^{\infty }{\text{cos}}\,x\,dx$¹.

Agli integrali di questo paragrafo si possono in molti casi estendere le regole di integrazione per somma, per sostituzione, per parti.

Così $\int _{a}^{b}{\frac {1}{(x-a)^{n}}}dx$ esiste, se esiste ed è finito il $\lim _{\epsilon =0}\int _{a+\epsilon }^{b}{\frac {1}{(x-a)^{n}}}dx$ (ove $\epsilon$ abbia il segno di $b-a$) cioè il $\lim _{\epsilon =0}\left[{\frac {(b-a)^{1-n}}{1-n}}-{\frac {\epsilon ^{1-n}}{1-n}}\right]$ se $n\not =1$, oppure il $\lim _{\epsilon =0}\left[\log |b-a|-\log |\epsilon |\right]$ se $n=1$. Questo limite è infinito per $n\geq \,1$, finito per $n<1$. Sia $f(x)$ una funzione continua nell'intervallo ($a$, $b$), il punto $a$ al più escluso</math>; esista un intorno ($a$, $c$ di $a$ [$c$ compreso tra $a$ e $b$], tale che in esso $|f(x)|<k{\frac {1}{(x-a)^{n}}}$ con $k$, $n$ costanti, ed $n<1$. Definiamo due funzioni $\varphi (x)$ e $\Psi (x)$ ponendo $\varphi (x)=f(x)$ e $Psi(x)=0$ nei punti ove $f(x)>0$; ponendo $\Psi (x)=-f(x)$, $\varphi (x)=0$ nei punti ove $f(x)\leq \ ,0$. Le $\varphi (x)$, $\Psi (x)$ saranno funzioni continue positive o nulle (escluso al più il punto $x=a$), non superiori ad $|f(x)|$. Ora sia $\int _{a+\epsilon }^{b}\varphi (x)dx$ che $\int _{a+\epsilon }^{b}\Psi (x)dx$ variano nello stesso verso quando $\epsilon$ (che ha il segno di $b-a$) tende a zero, e perciò tendono per $\epsilon =0$ ad un limite. Poichè p. es. $\int _{a+\epsilon }^{b}\varphi (x)dx=\int _{a+\epsilon }^{c}\varphi (x)dx+\int _{c}^{b}\varphi (x)dx$ e $\varphi (x)$ nell'intervallo ($a+\epsilon$, $c$) non

1. Si lascia al lettore di completare le precedenti definizioni, per il caso che nell'intervallo ($a$, $+\infty$) o ($-\infty$, $a$) o ($-\infty$, $\infty$), vi fosse un numero finito di punti singolari per $f(x)$.