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integrali

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Analogamente si procederebbe, se $f(x)$ fosse singolare in $b$. Se $f(x)$ diventa singolare in un punto $c$¹ interno ad ($a$, $b$), allora se esitono, secondo le definizioni ora poste, gli integrali $\int _{a}^{c}f(x)dx$ e $\int _{c}^{b}f(x)dx$, si pone per definizione

$\int _{a}^{b}f(x)dx=\int _{a}^{c}f(x)dx+\int _{c}^{b}f(x)dx$.

$\beta$) Può esistere una funzione $f(x)$ che è singolare in $c$, pure essendo finita: p. es. una funzione discontinua nel punto $c$. Il caso più notevole è che siano finiti il $\lim _{x=c-}f(x)$ ed il $\lim _{x=c+0}f(x)$, ma che tali limiti sieno differenti l'uno dall'altro. Ciò, p. es., avviene per la funzione ${\text{sen}}x+{\frac {x-c}{|x-c|}}$. In tal caso la nostra definizione si può esporre in forma più semplice. Se, p. es., $a<b$, consideriamo in ($a$, $c$) una funzione $f_{1}(x)$ che, per$x\not =c$ sia uguale ad $f(x)$ e nel punto $c$ sia uguale al $\lim _{x=c-0}f(x)$ ed in ($c$, $b$) una funzione $f_{2}(x)$ che nel punto $c$ sia uguale al $\lim _{x=c+0}f(x)$, e nei punti $x\not =c$ sia uguale ad $f(x)$. Sarà:

$\int _{a}^{b}f(x)dx=\int _{a}^{c}f_{1}(x)dx+\int _{c}^{b}f_{2}(x)dx$.

per l'esempio ora citato sarà se $a<c<b$

$\int _{a}^{b}{\begin{Bmatrix}{\text{sen}}x+{\frac {x-c}{|x-c|}}\end{Bmatrix}}dx=\int _{a}^{c}(-1+{\text{sen}}x)dx+\int _{c}^{b}(+1+{\text{sen}}x)dx$.

$\gamma$} Se $f(x)$ è definita nell'intervallo $(a$, $+\infty$) e se esiste ed è finito il $\lim _{k=+\infty }\int _{a}^{k}f(x)dx$, noi porrremo per definizione:

$\int _{a}^{\infty }f(x)dx=\lim _{k=\infty }\int _{a}^{k}f(x)dx$.

Analogamente, se $f(x)$ è definita per $x\leq \ a$, porremo per definizione

$\int _{-\infty }^{a}f(x)dx=\lim _{k=-\infty }\int _{k}^{a}f(x)dx$,

1. Si può porre una definizione analoga nel caso che vi sia un numero finito di punti singolari.