La fisica dei corpuscoli/Capitolo 5/11

by Giuseppe Gianfranceschi

Capitolo 5 - Natura della massa dei corpuscoli

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Giuseppe Gianfranceschi - La Fisica dei Corpuscoli (1920)

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11. — Natura della massa dei corpuscoli. — Immaginiamo un corpo di massa m, e per semplicità supponiamolo di forma sferica. Sappiamo che esso è in quiete per comunicargli una velocità v bisogna eseguire un lavoro eguale alla forza viva che il corpo acquista ossia

${\frac {1}{2}}mv^{2}$ .

Se consideriamo il corpo immerso in un fluido incompressibile non si riuscirà a mettere in moto il corpo senza mettere anche in modo una parte del fluido ambiente, anzi il moto di questo si estenderebbe in tutti i sensi indefinitamente. Il moto del fluido richiede anche esso una energia per acquistare la sua forza viva, e potremo esprimerla così

${\frac {1}{2}}\mu v^{2}$ .

In determinati casi si sa calcolare la massa $\mu$ del fluido che partecipa al moto.

Il lavoro totale che si deve dunque comunicare al corpo immerso nel fluido sarà

${\frac {1}{2}}mv^{2}\,+\,{\frac {1}{2}}\mu v^{2}\,=\,{\frac {1}{2}}\,(m\,+\,\mu )\,v^{2}$;

ciò equivale a considerare la massa del corpo mobile ingrandita da $m$ ad $m\,+\,\mu$.

Se il corpo è sferico e il fluido è omogeneo in ogni senso il lavoro espresso dall’ultima formola sarà dipendente dalla direzione del moto. Ma se esiste una ragione di eterogeneità nelle direzioni, o dalla forma del corpo, o dalle condizioni del liquido, allora non è lo stesso lavoro che si richiede per comunicare quella velocità a quel corpo in direzioni diverse. Immaginiamo una eterogeneità polare, per es. se il corpo invece di essere sferico fosse a forma di disco normale ad una direzione $O\,x$, oppure se nel fluido esistesse una corrente nella direzione $Ox$; il lavoro necessario per far muovere il corpo nella direzione longitudinale $Ox$, o nella trasversale — piano perpendicolare ad $O\,x$ — sarebbero diversi. Così mentre nella direzione longitudinale l’accrescimento di lavoro dovuto al moto del fluido si potrebbe rappresentare con

${\frac {1}{2}}m'v^{2}$

nella direzione trasversale si dovrebbe porre

${\frac {1}{2}}m''v^{2}$

in cui $m'\,\neq \,m''$ ogni volta che non esiste omogeneità, mentre nel caso di omogeneità sarebbe $m'\,=\,m''$.

Ciò potrebbe esprimersi dicendo che la massa del corpo da muoversi è diversa se si considera longitudinalmente o trasversalmente; od anche che la massa longitudinale del corpo è $m\,+\,m'$, quella trasversale è $m\,+\,m''$.

Tutto questo costituisce un modello del moto di un corpuscolo carico di elettricità. Sia $m_{0}$ la massa materiale del corpuscolo. Per comunicargli una velocità $v$ non basterà un lavoro dato da $m_{0}v^{2}/2$. Infatti il corpo elettrizzato forma intorno a sè un campo magnetico, e per muoversi deve vincere la resistenza di quel campo, analogamente a quello che deve fare il corpo nell’esempio precedente per muoversi in mezzo al fluido. Possiamo dire che in questo caso il corpo deve spostare il campo nell’etere ambiente. Sarà dunque come se si accrescesse la massa del corpuscolo, e invece di $m_{0}$ divenisse

111)	$m_{0}\,+\,\mu$ .

Fig. 1. Il campo di un elettrone in quiete. Questo accrescimento $\mu$ potrebbe chiamarsi la massa elettromagnetica del corpuscolo.

Ora se il corpuscolo è sferico, il campo radiale che esso forma intorno a sè è omogeneo. Se il corpuscolo comincia a muoversi le linee di forza elettriche vengono a modificarsi, ma per piccole velocità la deformazione può essere trascurabile. Se invece il corpuscolo muovendosi secondo una direzione $O\,x$ acquista velocità sufficientemente grande allora la deformazione delle linee di forza elettriche, e quindi del campo elettro-magnetico, diviene sensibile.

Fig. 2 Il campo di un elettrone in moto. Infatti, mentre finchè l’elettrone è in quiete le linee di forza elettrica sono distribuite uniformemente secondo i raggi, quando è in movimento le linee stesse tendono ad allontanarsi dalla direzione del moto e a disporsi a 90° da quella, ossia a condensarsi nel piano normale alla direzione del moto. Si stabilisce così una polarità. Allora il valore dell’accrescimento $\mu$ della massa, ossia la massa elettromagnetica, avrà un valore diverso se si considera nella direzione del moto, da quello che ha nella direzione normale al moto. Chiamando con $\mu '$ e $\mu ''$ questi due valori la massa totale del corpuscolo prenderà i valori

112)	$m_{0}\,+\,\mu '$
		$m_{0}\,+\,\mu ''$

la prima sarà la massa longitudinale, la seconda la massa trasversale.

Questa distinzione fra le due masse considerate nelle due direzioni ortogonali si deve per primo a M. Abraham.

Negli elettroni si distinguono dunque due masse diverse: la massa longitudinale, la massa trasversale. Nello studio della deviazione di un fascio di raggi catodici per effetto di un campo magnetico, o di un campo elettrico, era la massa trasversale quelle che costituiva la massa d’inerzia effettiva.

Ciascuna delle due specie di massa risulterebbe dunque di una grandezza costante $m_{0}$ che è la massa materiale del corpuscolo, più una massa elettromagnetica $\mu$ che ha valori diversi secondo che si considera longitudinalmente o trasversalmente al moto; e soltanto per piccole velocità le due masse si possono considerare eguali.

In ogni caso dunque la massa totale d’inerzia dell’elettrone è costituita di due parti, $m_{0}$ dovuta alla massa materiale, e $\mu$ al campo elettromagnetico. La massa $m_{0}$ resta costante.

Se ora consideriamo anche soltanto ciò che si verifica nella direzione del moto possiamo osservare che variando la velocità del corpuscolo varia il campo magnetico che esso forma, e quindi varia l’effetto che il corpuscolo ne risente e che si manifesta nella massa elettromagnetica $\mu$. Questa massa dunque varia col variare della velocità del corpuscolo, e conseguentemente varia la massa apparente del corpuscolo. Ciò si suole esprimere col dire che la massa dell’elettrone è una funzione della sua velocità.

Si può anche stabilire col Lorentz il modo di variare della massa $m$ con la velocità, e porre per la massa trasversale

113)	$m\,=\,m_{0}\,{\frac {1}{\sqrt {1\,-\,{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$,

e per quella longitudinale

114)	$m\,=\,m_{0}\,{\frac {1}{\sqrt {(1\,-\,{\frac {v^{2}}{c^{2}}})^{3}}}}$,

in cui $v$ è la velocità del corpuscolo e $c$ quella della luce.

Ora è possibile determinare sperimentalmente la variazione che subisce la massa trasversale d’inerzia $m_{0}\,+\,\mu$ al variare della velocità. È ciò che ha fatto il Kaufmann¹ per gli elettroni uscenti dal radio. D’altra parte, sotto determinate ipotesi abbastanza giustificate, si può calcolare la variazione che subisce la massa elettromagnetica $\mu$. Rappresentiamo queste variazioni con il rapporto fra due valori che la massa acquista per due valori determinati dalla velocità e poniamo

115)

${\frac {m_{o}\,+\,\mu _{1}}{m_{0}\,+\,\mu _{2}}}\,=\,h$

${\frac {\mu _{1}}{\mu _{2}}}\,=\,k$

in cui $\mu _{1}$ e $\mu _{2}$ corrispondono rispettivamente alla velocità $v_{1}$ e $v_{2}$. È chiaro che se $h$ e $k$ fossero perfettamente eguali ne risulterebbe $m_{0}\,=\,0$.

Il calcolo dà in realtà $h$ vicinissimo a $k$, anzi la differenza è trascurabile². Se le ipotesi fatte sono giuste si deve concludere che la massa materiale $m_{0}$ degli elettroni è trascurabile rispetto alla massa elettromagnetica, in altri termini si può asserire che tutta la massa d’inerzia degli elettroni sia di natura elettromagnetica. Questa è la conclusione a cui sono giunti tanto il Kaufmann come il Thomson³.

Naturalmente tutto ciò vale per gli elettroni e non si può ripetere altrettanto per i corpuscoli positivi la cui massa è dell’ordine degli atomi materiali.

Note

1. W. Kaufmann, Ueber die konstitution des Elektrons, Ann. d. Phys. 19, p. 487 (1906).
2. I valori corrispondenti sono dati dal Kaufmann e studiati dal Thomson e dal Lorentz. Conf. anche Curie in Idées sur la constitution de la Matière, pubblicazione della Soc. Franç. de Phys. (1013), p, 293.
3. J. J. Thomson, The corpuscolar theory oh the Matter, cap 2°.