La fisica dei corpuscoli/Capitolo 5/12

by Giuseppe Gianfranceschi

Capitolo 5 - Come ci calcola la massa elettromagnetica dei corpuscoli

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Giuseppe Gianfranceschi - La Fisica dei Corpuscoli (1920)

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12. — Come si calcola la massa elettromagnetica dei corpuscoli. — Il Thomson¹ fin dal 1881 assegnò il valore del termine $\mu$ della formola 111). Ecco come egli vi giunge. Sia in $O$ un corpsucolo che possieda una carica $e$. Fig. 3. Se esso sta in quiete all’intorno di $O$ non esiste che un campo elettrico. Ma supponiamo che il corpuscolo cominci a muoversi con moto uniforme in una direzione $OX$ con velocità $v$, allora si desta un campo magnetico. Se consideriamo un punto $P$ alla distanza $r$ da $O$ e in una direzione che forma con la direzione $OX$ un angolo $\vartheta$ la intensità della forza magnetica che si desta in quel punto è data da

116)	${\frac {e\,v\,sen\,\vartheta }{r^{2}}}$ .2

E poichè, come è noto, quando in un campo magnetico l’intensità della forza è $H$ l’energia contenuta nell’unità di volume è $H^{2}/8\pi$, così nel caso presente l’energia che si desta nell’unità di volume intorno a $P$ sarà

117)	${\frac {1}{8\pi }}\,{\frac {e^{2}v^{2}\operatorname {sen} ^{2}{\vartheta }}{r^{4}}}$ .

Se vogliamo allora calcolare la quantità totale d’energia destatasi nel campo dobbiamo far la somma di queste quantità unitarie estesa a tutto il volume che circonda il corpuscolo $O$. Se supponiamo il corpuscolo di forma sferica con raggio $a$ è facile verificare che l’energia totale che si cerca è data da

118)	${\frac {1}{3}}\,{\frac {e^{2}v^{2}}{a}}$ .

Questa energia non esisteva finchè il corpuscolo era in quiete e si desta solo quando esso comincia a muoversi. Se dunque si vuole comunicare al corpuscolo una velocità $v$, come si è supposto, bisognerà non soltanto spendere un’energia eguale all’energia cinetica che esso acquista, cioè $mv^{2}/2$ dove $m$ è la massa propria del corpuscolo, ma in più si dovrà dare l’energia calcolata nella 118, sicchè l’energia necessaria sarà

${\frac {1}{2}}mv^{2}\,+\,{\frac {1}{3}}\,{\frac {e^{2}}{a}}v^{2}$,

ossia

119)	${\frac {1}{2}}\,\left(m\,+\,{\frac {2}{3}}\,{\frac {c^{2}}{a}}\right)v^{2}$ .

comunicare al corpuscolo è uguale all’energia cinetica che verrebbe a possedere una sfera la cui massa fosse

120)	$m\,+\,{\frac {2}{3}}\,{\frac {e^{2}}{a}}$ .

In altri termini per il fatto che il corpuscolo essendo carico desta col suo moto un campo magnetico la sua massa deve essere considerata non più come essa era cioè eguale ad $m$ ma accresciuta del nuovo termine

121)	$\mu \,=\,{\frac {2}{3}}\,{\frac {e^{2}}{a}}$ .

Questo accrescimento apparente della massa non avviene all’interno del corpuscolo ma nello spazio in cui esso è immerso, e si può considerare come la massa di un etere messo in movimento per il moto stesso del corpuscolo. Importa osservare che a parità di carica elettrica l’accrescimento di massa è tanto maggiore quanto più piccolo è il corpuscolo perchè è inversamente proporzionale al suo raggio $a$. Se il corpo è grande l’accrescimento sarà trascurabile, ma se esso è piccolissimo l’aumento di massa diviene considerevole fino a far diventare trascurabile la massa $m$ propria del corpuscolo.

Se si volesse tener conto dell’influenza della velocità $v$ nel calcolo della massa $\mu$ si otterrebbe la formola

$\mu \,=\,{\frac {2}{3}}\,{\frac {e^{2}}{a}}\,\left(1+{\frac {v^{2}}{2c^{2}}}+{\text{potenze superiori}}\right)$ .

Note

1. J. J. Thomson, On the electric and magnetic effects produced by the motion of electrified bodies, Phil. Mag. 5, 11, p. 227 (1881).
2. Bisogna notare che in questa come nelle formole successive la pearmibilità magnetica del mezzo è supposta uguale ad 1. Se fosse diversa comparirebbe qui come coefficiente.