L'Euclide deve essere bandito dalle scuole classiche/Introduzione
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Prima di esporre il mio parere riguardo alla Geometria di Euclide, credo opportuno prendere ad esame le più logiche e forti opposizioni che sonosi fatte a quest’opera, nel suo essere sublime, avuto riguardo all’epoca ond’ebbe origine, da uomini profondi conoscitori non solo delle matematiche dottrine, ma eziandio della tanto interessante parte didascalica, tra i quali mi è grato comprendere l’illustre professore signor Sebastiano Purgotti, che ha consacrato tre opuscoli contro la Geometria di Euclide.
La più forte opposizione che egli fa è sulla definizione 5.ª del libro V.°; e a buon diritto, perchè su questa definizione poggiano tutti o quasi tutti i teoremi compresi in questo libro; e vari di quelli del libro seguente, che nel loro insieme formano tutta la vasta teoria delle proporzioni, che è il midollo delle matematiche discipline.
Io, meditando su quella, detta da Euclide definizione, e su quanto contro di questa vi ha scritto il chiarissimo professore Purgotti, diceva fra me e me: Se dessa è falsa, per falsi debbono ritenersi i numerosi teoremi che su di essa poggiano: se quella proposizione non è una definizione, ma un teorema, come tale fu giudicata dal sommo Galileo, non essendo dall’Euclide dimostrato, indimostrati riescono pure i teoremi che basano su quello; e quindi il libro quinto cesserebbe di aver vita scientifica. Dopo questi riflessi, io diceva a me stesso: Come è possibile che un sommo geometra, qual è l’Euclide, che si è acquistata tanta celebrità presso tutti i sommi matematici che gli succedettero, abbia potuto commettere cotanto grave errore? e quindi per più fiate leggeva quella definizione; poscia, con quel coraggio, che, se manca, non si fa nulla nelle scienze, mi posi a spiegare, o, se vuolsi, a dimostrare quella proposizione.
Se io ci sono giunto avrò conservato a quel sommo integra la riputazione, lo che piacerà anche ai suoi oppositori. Se la mia dimostrazione sarà falsa, certo io non arrossirò nel riflesso che tanti uomini sommi ci hanno dato di naso, tra i quali, in appoggio ho il sommo Galileo.
La definizione 5.ª dell’Euclide è:
La ragione di una prima grandezza ad una seconda si dice essere uguale a quella di una terza ad una quarta, quando, prese della prima e della terza le ugualmente moltiplici secondo qualsivoglia numero, e della seconda e della quarta pure le ugualmente moltiplici secondo qualsivoglia numero, se la moltiplice della prima è maggiore della moltiplice della seconda, anche la moltiplice della terza sia maggiore della moltiplice della quarta; se uguale, uguale; se minore, minore.
Per sviluppare questa proposizione, fisso quattro quantità a, b, c, d; prendo della prima e della terza lo stesso multiplo, per esempio, l’emmuplo, e rappresento con E, F questi due multipli; e così ottengo:
E = ma... (1); F = mc (2).
Ora, prendo della seconda e quarta lo stesso multiplo, per esempio, l’ennuplo; rappresento con G, H questi multipli, ed ho:
G = nb... (3); H = nd... (4).
Posto:
- 1.° Che dall’essere
E = ma > G = nb
risulti
F = mc > H = nd,
dividendole con ordine si ha:
E/F = ma/mc > G/H = nb/nd;
ossia
E/F = a/c > G/H = b/d,
dalla quale si passa alla
E/G = a/b > F/H = c/d;
e siccome E > G, e F > H: dunque a > b, e c > d; e l’essere a > b, come c > d, ad Euclide piacque esprimer ciò colla frase:
La ragione di a a b è uguale a quella di c a d. Frase un poco equivoca, stando allo stretto significato attribuito dai matematici alla voce ragione; ma da tollerarsi ad Euclide che visse in un’epoca nella quale il linguaggio scientifico era appena in fiore.
Anche in Marie ed in Brunacci si trova il vocabolo ragione usato in doppio senso.
Posto:
- 2.° Che dall’essere
E = ma < G = nb
risulti
F = mc < H = nd;
dividendole con ordine, si ha:
E/F = ma/mc < G/H = nb/nd,
ossia
E/F = a/c < G/H = b/d;
dalla quale si passa alla,
E/G = a/b < F/H = c/d;
e siccome E < G, e F < H, segue che a < b,
come c < d.
Ed anche in questo secondo caso, siccome a è minore di b, come c è minore di d, Euclide intese dire che la ragione di a a b è uguale a quella di c a d.
Posto:
- 3.° Che dall’essere
E = ma = G = nb
risulti
F = mc = H = nd;
dalle quali risultano
E/G = ma/nb = 1; F/H = mc/nd = 1;
dunque
ma/nb = mc/nd1;
onde
a/b = c/d.
Anche in questo terzo caso, siccome a è maggiore, o minore, o uguale a b, come c è maggiore, o minore, o uguale a d, Euclide disse che la ragione di a a b è nguale a quella di c a d.
Ora, riassumo i tre casi sovra sviluppati, dei quali il 1.° è
a/b > c/d;
o, che è lo stesso,
a:b > c:d;
la quale ci dice che, nel primo caso di Euclide, la prima quantità sta alla seconda in maggior proporzione della terza alla quarta.
Il 2.° è
a/b < c/d;
o, che è lo stesso,
a: b < c:d;
la quale ci dice che, nel terzo caso della 5.a di Euclide; la prima quantità sta alla seconda in minor proporzione della terza alla quarta.
Il 3.° è
a:b = c:d;
o, che è lo stesso,
a:b = c:d;
la quale ci dice che, nel secondo caso della 5.a di Euclide, la prima quantità sta alla seconda nella stessa proporzione che la terza sta alla quarta.
Dopo ciò, mi è dato concludere che la 5.ª del V.° libro di Euclide è una proposizione magnifica, perchè comprende il concetto proporzionalità in tutta la sua generalità.
Se la mia interpetrazione e dimostrazione della 5.ª del V.º libro di Euclide verrà dai matematici riconosciuta per vera, il piedistallo dell’opposizione Purgottiana resta demolito, ed il V.º libro rimane integro; così, per questa parte, trionferebbero quei che vagheggiano il lascia stare l’Euclide per testo nello insegnamento classico.
Altre opposizioni, ma meno valevoli, all’Euclide dal ch. Purgotti sonosi fatte: meno valevoli dico, perchè sono più opposizioni di parole che di fatti; siccome non è mai venuto al concreto, non ha preso ad esame qualche teorema colla rispettiva dimostrazione, facendone vedere il difetto di metodo, o per eccessiva prolissità, o per mancanza di quell’ordine logico, tanto necessario in qualsiasi dimostrazione, ed anche più necessario nelle dimostrazioni dei teoremi geometrici.
Molta gravità io do però alla critica Purgottiana, allorchè parla contro la disposizione delle materie in molte parti della Geometria Euclidea.
Restringo ora il mio parere sulla critica fatta all’Euclide dal ch. professor Purgotti 2, e conchiudo:
Se verrà respinta la mia interpetrazione e dimostrazione della 5.ª del V.º libro di Euclide, il professore Purgotti avrà trionfato in parte contro la Geometria di Euclide; ma se quella mia interpretazione e dimostrazione sarà accolta favorevolmente, farà d’uopo ricorrere a molto più valeveli prove per determinare il Ministero della pubblica istruzione a bandire dalle scuole la Geometria del greco Geometra.
Io sotto tre punti di vista prenderò ad esame la Geometria di Euclide.
1.º Intorno alla disposizione delle materie;
2.º Intorno al modo di dimostrare i teoremi;
3.º Nel considerare la Geometria di Euclide rapporto allo stato attuale della scienza.