Opere matematiche di Luigi Cremona/Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane/Fascio di curve del terz'ordine aventi i medesimi flessi

Art. 23. Fascio di curve del terz’ordine aventi i medesimi flessi

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Art. 23. Fascio di curve del terz’ordine aventi i medesimi flessi
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Art. XXIII.

Fascio di curve del terz’ordine aventi i medesimi flessi.

139 Il teorema (71), applicato alla cubica fondamentale , significa che, se per un punto fisso della curva si tira una trasversale qualunque a segar quella in altri due punti , il luogo del coniugato armonico di rispetto ad è la conica polare di .

Ma se è un flesso della cubica, la conica polare si decompone nella relativa tangente stazionaria ed in un’altra retta che non passa per (80). Dunque il luogo del punto coniugato armonico di un flesso di una cubica, rispetto ai due punti in cui questa è incontrata da una trasversale mobile intorno al flesso, è una retta1.

Alla retta , che sega la cubica ne’ tre punti ove questa è toccata dalle tre tangenti concorrenti nel flesso (39, c), si dà il nome di polare armonica del flesso , e non dee confondersi coll’ordinaria retta polare che è la tangente stazionaria2.

(a) Dal flesso si tirino due trasversali a segare la cubica rispettivamente ne’ punti . Siccome la polare armonica è pienamente determinata dai coniugati armonici di rispetto alle coppie di punti , così essa non è altro che la polare di rispetto al pajo di rette , oppure rispetto al pajo . Dunque (110, a) la retta passa pel punto comune alle rette e pel punto comune alle .

Se le due trasversali coincidono, si ottiene la proprietà che, se pel flesso si conduce una trasversale a segare la cubica in , le tangenti in questi punti vanno ad incontrarsi sulla polare armonica di . [p. 446 modifica]

Quanto precede mette in evidenza che un flesso di una cubica ha, rispetto a questa ed alla sua polare armonica, le stesse proprietà3 che un punto qualunque possiede riguardo ad una conica ed alla sua retta polare (107). 4

(b) Se tre rette segano la cubica data rispettivamente ne’ punti , e se giacciono in due rette, anche sono in linea retta (39, a). Supposto che i punti coincidano in un solo (flesso) , le due rette concorreranno, come or ora si è osservato, sulla polare armonica di . Se inoltre i punti coincidono in un punto unico, lo stesso avrà luogo de’ punti ; dunque:

La retta che unisce due flessi di una cubica sega questa in un terzo flesso5. E le tangenti (stazionarie) in due qualunque di questi tre flessi concorrono sulla polare armonica del terzo.

(c) Da questo teorema e dalla definizione della polare armonica d’un flesso si raccoglie che, se sono tre flessi in linea retta, il punto coniugato armonico di rispetto a è situato nella polare armonica di , ecc.; e che per conseguenza le polari armoniche de’ flessi sono le rette che uniscono i vertici del trilatero formato dalle relative tangenti stazionarie, col polo della retta rispetto al trilatero medesimo (76).

(d) Il teorema “se tre flessi della cubica sono in linea retta, le loro polari armoniche concorrono in uno stesso punto„ può dimostrarsi anche così. Siano le tangenti (stazionarie) della cubica ne’ tre flessi nominati; le coppie di rette sono le coniche polari de’ punti medesimi, e queste coniche devono essere circoscritte ad uno stesso quadrangolo, i cui vertici siano i poli della retta (130, a). Vale a dire, le rette devono passare pei quattro punti . Ma le tangenti in due de’ flessi s’incontrano sulla polare armonica del terzo, ossia passa pel punto ; dunque passerà anche pel punto , c. d. d.

Di qui si raccoglie che i quattro poli di una retta che contenga tre flessi della cubica sono i vertici del trilatero formato dalle tre corrispondenti tangenti stazionarie, ed il punto di concorso delle polari armoniche de’ tre flessi6.

140. Tre trasversali condotte pel flesso seghino la data cubica nei punti ; esse incontreranno la retta , polare armonica di , nei punti coniugati armonici di rispetto alle coppie . Ma gli stessi punti giacciono anche nella conica polare di relativa a qualsivoglia cubica descritta pei sette punti (139). Dunque questa conica polare si risolve in due rette, una delle quali è ; vale a dire [p. 447 modifica](80), è un flesso (ed è la relativa polare armonica) per qualunque curva di terz’ordine passante pei sette punti anzidetti78.

(a) Una cubica ha nove flessi, che sono le intersezioni della medesima coll’Hessiana (100). Siccome poi la retta che unisce due flessi passa per un terzo flesso (139, b), così per ciascuno di que’ nove punti passeranno quattro rette contenenti gli otto restanti. Quindi, in virtù del precedente teorema, qualunque linea del terz’ordine descritta pei nove flessi di una data cubica ha i suoi flessi in questi medesimi punti9.

Le cubiche aventi in comune i nove flessi chiamansi sizigetiche.

(b) Siccome per ogni flesso della cubica data passano quattro rette, ciascuna delle quali contiene altri due flessi, così il numero delle rette contenenti tre flessi è . Indicando i flessi coi numeri , tali rette si possono rappresentare così:

, , , ,
, , , ,
, , , ;


dove si fa manifesto che queste dodici rette si ripartiscono in quattro gruppi, ciascuno de’ quali è formato da tre rette (scritte nella stessa linea verticale) passanti per tutti i nove punti d’inflessione. Dunque pei nove flessi di una cubica passano quattro sistemi di tre rette10, ossia in un fascio di cubiche sizigetiche v’hanno quattro cubiche, ciascuna delle quali si risolve in tre rette (cubiche trilatere).

Siccome una terna di rette può risguardarsi come una linea di terz’ordine dotata di tre punti doppi, e d’altronde (88) un fascio di cubiche contiene dodici punti doppi, così pei nove flessi della cubica data non passa, oltre i quattro sistemi di tre rette, alcuna curva dotata di punto doppio o di cuspide.

141. Considerando il flesso della cubica fondamentale come un punto dell’Hessiana (cioè come un punto avente per conica polare un pajo di rette incrociate in un altro punto ), il polo coniugato (132, b) ad è il punto d’intersezione della tangente stazionaria colla polare armonica. In generale, le tangenti all’Hessiana in due poli [p. 448 modifica]coniugati concorrono in uno stesso punto della medesima (133); d’altronde essendo un flesso anche per l’Hessiana (140, a), questa curva ha ivi colla sua tangente un contatto tripunto; dunque la tangente in sega l’Hessiana in , ossia la retta che è tangente (stazionaria) della cubica fondamentale nel flesso è anche tangente (ordinaria) dell’Hessiana nel polo coniugato 11.

Questa proprietà si poteva anche conchiudere dalla teoria generale (118, c; 119 b), dalla quale segue ancora che tutte le coniche polari passanti per hanno ivi fra loro un contatto tripunto.

(a) Ciascuna tangente stazionaria della cubica fondamentale, essendo anche una tangente ordinaria dell’Hessiana, conta come due tangenti comuni; onde le due curve avranno altre tangenti comuni. Siccome poi ogni tangente dell’Hessiana ha due poli coincidenti nel punto coniugato al punto di contatto e gli altri due poli distinti nella Cayleyana (135), così le diciotto tangenti (ordinarie) comuni all’Hessiana ed alla cubica fondamentale toccano quest’ultima curva ne’ punti in cui essa è incontrata dalla Cayleyana.

(b) In generale, se sono due poli coniugati, e se è il terzo punto comune all’Hessiana ed alla retta , questa tocca la Cayleyana nel punto coniugato armonico di rispetto ai due (135, c). Ma allorchè sia un flesso della cubica fondamentale, coincide con ; epperò (4) anche si confonde con . Dunque la Cayleyana tocca l’Hessiana nei nove poli coniugati ai flessi della cubica fondamentale.

(c) Una tangente della Cayleyana, quale è (fig. 8.ª), sega questa curva in quattro punti , i quali sono le intersezioni di colle rette costituenti le coniche polari di (135). Quando è un flesso della cubica fondamentale, la conica polare di è costituita dalla tangente stazionaria e dalla polare armonica, e quest’ultima si confonde con , perchè ed coincidono insieme. Ond’è che de’ due punti l’uno cade in (od ) e l’altro si unisce all’intersezione di due tangenti infinitamente vicine della Cayleyana, cioè al punto di contatto fra questa curva e la retta . Questa retta ha dunque un contatto tripunto colla Cayleyana; e siccome questa curva, essendo della terza classe e del sest’ordine, non può avere altre singolarità all’infuori di nove cuspidi (99, 100), così:

Le polari armoniche dei nove flessi della cubica fondamentale sono tangenti alla Cayleyana nelle nove cuspidi di questa curva.

(d) L’Hessiana e la Cayleyana sono dotate di proprietà completamente reciproche. Infatti: [p. 449 modifica]

Una tangente qualunque della Cayleyana sega l’Hessiana in due punti corrispondenti, cioè aventi lo stesso tangenziale, ed in un terzo punto che è il coniugato armonico del punto di contatto della Cayleyana rispetto ai primi due (135, c).
In un punto qualunque dell’Hessiana concorrono tre tangenti della Cayleyana; due di esse sono corrispondenti, cioè la retta che ne unisce i punti di contatto è una tangente della Cayleyana; la terza poi è la coniugata armonica, rispetto alle due prime, della tangente all’Hessiana in (135, a).

Da questa perfetta reciprocità segue che le proprietà della Cayleyana si potranno conchiudere da quelle dell’Hessiana e viceversa. Per esempio:

I nove punti , ne’ quali l’Hessiana è toccata dalle sue tangenti stazionarie, sono i flessi anche delle infinite curve di terzo ordine passanti pei medesimi.
Le nove rette tangenti alla Cayleyana nelle cuspidi, sono tangenti cuspidali per tutte le infinite curve di terza classe ch’esse toccano.
Al fascio di queste curve appartengono quattro trilateri, cioè i nove flessi sono distribuiti a tre a tre su dodici rette , delle quali in ogni punto ne concorrono quattro.
Alla serie di queste curve appartengono quattro triangoli, cioè le nove rette concorrono a tre a tre in dodici punti , ciascuna di quelle contenendo quattro di questi.
I vertici dei quattro trilateri sono i dodici punti 12.
I lati dei quattro triangoli sono le dodici rette .
Fra le curve di terz’ordine aventi i flessi in comune coll’Hessiana v’è anche la cubica fondamentale , rispetto alla quale l’Hessiana è il luogo di un punto che abbia per conica polare un pajo di rette, e la Cayleyana è l’inviluppo di queste rette.
Fra le curve di terza classe aventi per tangenti cuspidali le rette ve n’ha una 13, rispetto alla quale la Cayleyana è l’inviluppo di una retta il cui primo inviluppo polare (82) sia una coppia di punti, e l’Hessiana è il luogo di questi punti.
Le tangenti stazionarie della cubica toccano l’Hessiana e la Cayleyana ne’ punti comuni a queste due curve.
Le cuspidi della curva sono i nove punti ove l’Hessiana e la Cayleyana si toccano.

142. Dato un fascio di cubiche, una trasversale qualunque le incontra in terne di punti formanti un’involuzione di terzo grado, e ne’ punti doppi di questa la trasversale tocca quattro cubiche del fascio (49). Se le cubiche sono sizigetiche (ossia se hanno i nove flessi comuni) e se la trasversale è la polare armonica di un flesso , le tre intersezioni di una qualunque fra quelle cubiche sono i punti di contatto fra essa e [p. 450 modifica]le tangenti che convergono al flesso (139). Sia uno de’ punti doppi dell’involuzione; la cubica passante per toccherà ivi sì la trasversale che la retta , cioè avrà in un punto doppio. Ma i soli punti doppi in un fascio di cubiche sizigetiche sono le intersezioni scambievoli delle terne di rette contenenti a tre a tre i flessi (140, b); dunque i quattro trilateri (sizigetici) formati da tali rette hanno i loro vertici allineati a quattro a quattro sulle polari armoniche de’ flessi.

Di qui si ricava che, se è un vertice di un trilatero sizigetico, dovrà giacere nella polare armonica di ciascuno de’ tre flessi situati nel lato opposto del trilatero medesimo14; ossia:

I punti in cui si segano a tre a tre le polari armoniche dei flessi sono i vertici dei quattro trilateri formati dalle dodici rette nelle quali giacciono distribuiti a tre a tre i flessi medesimi15.

Considerando uno qualunque de’ trilateri sizigetici, i suoi lati contengono i nove flessi, mentre pei vertici passano le nove polari armoniche. Sia uno dei vertici ed i flessi giacenti nel lato opposto. Siccome per passano le polari armoniche di , le quali fanno parte delle coniche polari di questi punti rispetto a tutte le cubiche sizigetiche del dato fascio (140), così la retta sarà, relativamente a tutte queste curve, la retta polare del punto (130, a). Dunque ciascun vertice di un trilatero sizigetico è polo del lato opposto rispetto a tutte le cubiche sizigetiche.

143. Proseguendo a studiare il fascio delle cubiche sizigetiche, una qualunque di esse sia incontrata dalla polare armonica del flesso ne’ punti , onde in questi punti le tangenti alla curva saranno . La tangente (stazionaria) alla cubica medesima nel flesso incontri in . La cubica è individuata da uno qualunque de’ quattro punti , epperò, al variare di quella, la terna genera un’involuzione (di terzo grado) projettiva alla semplice punteggiata formata dai punti .

Se sono i punti doppi dell’involuzione, essi sono anche (142) vertici de’ quattro trilateri sizigetici; siano poi le intersezioni dei lati rispettivamente opposti colla retta . Per queste cubiche trilatere, le tangenti al flesso sono evidentemente gli stessi lati ; ond’è che, ogni qualvolta i due punti coincidono in , i punti si confondono insieme con .

La retta , che tocca una cubica del fascio nel flesso , è anche tangente [p. 451 modifica]all’Hessiana di questa nel punto (141). Dunque, se una data cubica del fascio incontra la retta ne’ punti , le rette sono tangenti nel flesso ad altrettante cubiche del fascio, aventi per Hessiana la curva data. Ossia una data cubica è, in generale, Hessiana di tre altre cubiche sizigetiche ad essa16.

(a) Se la cubica data è un trilatero, un vertice del quale sia ed il lato opposto passi per , le tre tangenti , riduconsi alle due , . La seconda di queste rette può risguardarsi come tangente stazionaria della cubica data, la quale è per tal modo Hessiana di sè stessa. E l’altra retta sarà tangente in ad una cubica (del fascio) avente per Hessiana il dato trilatero. Dunque ciascuna cubica trilatera è Hessiana di sè stessa e di un’altra cubica (del fascio). Cioè in un fascio di cubiche sizigetiche vi sono quattro curve le cui Hessiane sono i quattro trilateri del fascio.

(b) Cerchiamo se nel dato fascio vi abbia alcuna cubica che sia Hessiana della propria Hessiana. Una cubica ha per Hessiana un’altra cubica, e l’Hessiana di questa è una nuova cubica . Assunta invece ad arbitrio nel fascio la curva , questa è Hessiana di tre cubiche, ciascuna delle quali è alla sua volta Hessiana di tre altre cubiche ; talchè dà nove cubiche . Siccome le cubiche sono individuate dalle rispettive tangenti in (46), od anche dai punti in cui queste segano la polare armonica , possiamo dire che ad ogni punto corrisponde un solo punto , mentre a ciascun punto corrispondono nove punti ; quindi la coincidenza di due punti corrispondenti avrà luogo dieci volte, cioè vi sono dieci cubiche sodisfacenti alla condizione proposta. Di questo numero sono i quattro trilateri sizigetici; epperò, lasciatili da parte, avremo:

Un fascio di cubiche sizigetiche contiene sei cubiche, ciascuna delle quali è Hessiana della propria Hessiana17.

144. Vogliamo ora trovare la relazione segmentarla esprimente la projettività che ha luogo fra l’involuzione di terzo grado formata dai punti e la semplice serie generata dal punto (143). Preso per origine de’ segmenti un punto , cioè quel vertice di uno de’ trilateri sizigetici che cade nella retta ; e chiamato uno qualunque de’ punti , la projettività di che si tratta sarà espressa da un’equazione della forma (24, a):

1)
,

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ove sono coefficienti costanti. Il punto corrispondente ad (143) suppongasi a distanza infinita, com’è lecito fare senza sminuire la generalità dell’indagine; perchè trattandosi qui di relazioni fra rapporti anarmonici, possiamo ai punti della retta sostituire le loro projezioni fatte da un centro arbitrario sopra una retta parallela al raggio che passa per (8).

Ciò premesso, siccome i tre valori di corrispondenti ad devono essere , , , così se ne trae , , .

D’altronde è un punto della retta polare di rispetto a qualunque cubica del fascio (142), quindi (11):

;


ma è infinito, dunque . Così l’equazione 1) diviene:

2)
.

La condizione affinchè la 2), considerando come incognita, abbia due radici eguali è:

3)
,


cioè questa equazione del terzo grado rispetto ad darà quei tre punti a ciascuno dei quali, come ad , corrispondono due punti coincidenti .

Se nella stessa equazione 2) si fa , ottiensi:

4)
,


ossia ciascuno de’ punti dati dalla 4) coincide con uno de’ corrispondenti punti . Ma i punti dotati di tale proprietà sono (oltre ad ) gli stessi punti dati dalla 3); dunque le equazioni 3), 4), dovendo ammettere le stesse soluzioni, avranno i coefficienti proporzionali.

L’equazione 4) non contiene l’ lineare; onde eguagliando a zero il coefficiente di nella 3), si avrà , ossia ; perchè il porre farebbe scomparire il segmento dalla 2). Quindi le 3), 4) divengono:

,     ,


donde eliminando si ha:

5)
.

Posto e per brevità , ovvero posto e per brevità [p. 453 modifica], le equazioni 3), 4) in entrambi i casi danno:

6)


e le radici di questa equazione saranno .

Fatto adunque , ed inoltre , ovvero , l’equazione 2) diviene nel primo caso:

7)
,


e nel secondo:

.


Cioè nel primo caso uno de’ tre punti corrispondenti ad coincide collo stesso , mentre gli altri due si riuniscono in un sol punto diverso da . Nel secondo caso invece, due de’ tre punti corrispondenti ad cadrebbero in . Ma nella quistione che ci occupa si verifica il primo caso, non il secondo (143); ond’è che dobbiamo assumere , non già .

Dunque la richiesta equazione per la projettività fra l’involuzione formata dalle terne di punti e la semplice punteggiata formata dai punti può essere scritta così:

8)
,


ove esprime un coefficiente costante18.

(a) I punti sono dati dall’equazione 6), ed i punti dalla 7):

,


ossia dalla:

;


dunque entrambi i sistemi di quattro punti sono equianarmonici (27).

Ne consegue che, se è un flesso reale delle cubiche sizigetiche, due de’ quattro vertici giacenti nella polare armonica sono reali, gli altri due imaginari (26). E per la reciprocità già avvertita (141, d), due delle quattro rette (lati de’ trilateri sizigetici) concorrenti in saranno reali, le altre due immaginarie. Che almeno uno de’ flessi di una cubica sia reale, risulta manifesto dall’essere dispari il numero totale delle intersezioni della cubica coll’Hessiana.

Sia dunque un flesso reale; e delle quattro rette (140, b), cioè , , , , siano reali le prime due, imaginarie coniugate le altre. I quattro flessi , saranno necessariamente tutti imaginari, ed invero uno de’ primi due sarà coniugato [p. 454 modifica]ad uno degli altri due. Siano coniugati e , e . Le due rette reali , , e le due rette imaginarie coniugate , si segano separatamente in due punti reali , situati nella polare armonica del flesso (139, a).

Essendo reali le rette , , i flessi , e così pure , sono o entrambi reali, o imaginari coniugati. D’altronde le coppie di rette , devono dare gli altri due vertici , situati in linea retta con . Ma sono imaginari, dunque i punti non possono essere nè tutti reali, nè tutti imaginari; cioè sono reali, e imaginari.

Da ciò segue che de’ nove flessi di una cubica tre soli (in linea retta) sono reali, essendo gli altri imaginari coniugati a due a due19. E delle dodici rette , che contengono le terne de’ flessi, quattro (, , , ) sono reali; le altre no. Uno de’ quattro trilateri sizigetici ha un solo vertice reale; un altro ne ha tre; i rimanenti nessuno.

(b) Come si è supposto sin qui, sia uno de’ punti in cui una data cubica del fascio sega la retta , e sia l’intersezione di questa medesima retta colla tangente al flesso . Supponiamo poi che i punti abbiano analogo significato per l’Hessiana della cubica suddetta; avremo similmente alla 8):

.

Ma l’Hessiana passa, come si è già osservato (143), pel punto , talchè sarà:

9)
,


donde, dato il punto , si desume il punto . Per esempio, se cade in , si ha , cioè coincide con ; e se è uno de’ punti , ossia se è dato dall’equazione

,


si ottiene:

,


vale a dire, è uno de’ punti . Di qui si ricava che le cubiche sizigetiche le cui tangenti al flesso passano per uno de’ punti hanno per Hessiane i trilateri sizigetici; come già si è trovato altrove (143, a).

Se invece è dato il punto , l’equazione 9) dà i tre punti corrispondenti alle tre cubiche, la comune Hessiana delle quali è la curva relativa al dato punto (143). [p. 455 modifica]

(c) Se la cubica data è Hessiana della propria Hessiana (143, b), si avrà oltre l’equazione 9) anche la:

.


Sottraggasi questa dalla 9), e dalla risultante, omesso il fattore che corrisponde alle cubiche trilatere, si elimini mediante la medesima 9); ottiensi così la:

10)
,


equazione di sesto grado, che dà i sei punti corrispondenti alle sei cubiche dotate della proprietà d’essere Hessiane delle proprie Hessiane.

145. Le quattro tangenti che in generale si possono condurre ad una cubica da un suo punto, nel caso che questo sia il flesso , sono le rette . Ond’è che il rapporto anarmonico della cubica (131, b) sarà quello de’ quattro punti , ne’ quali la polare armonica del flesso è incontrata dalla tangente stazionaria e dalla cubica medesima.

Ciò premesso, possiamo ricercare quali fra le cubiche sizigetiche del dato fascio sono equianarmoniche e quali armoniche (131, b).

Siccome i tre punti sono dati dalla 8), così i quattro punti saranno rappresentati dall’equazione:

11)
,


che si ottiene moltiplicando la 8) per .

La condizione necessaria e sufficiente affinchè la 11) esprima un sistema equianarmonico è (27):

,


che rappresenta i quattro punti . Dunque (144, b) un fascio di cubiche sizigetiche contiene quattro curve equianarmoniche, ciascuna delle quali è anche dotata della proprietà d’aver per Hessiana un trilatero (sizigetico).

Affinchè la 11) rappresenti un sistema armonico, dev’essere (6):

.


Quest’equazione coincide colla 10); dunque un fascio di cubiche sizigetiche contiene sei curve armoniche, le quali sono anche le cubiche dotate della proprietà d’essere Hessiane delle proprie Hessiane20.

Note

  1. Maclaurin, l. c. p. 228.
  2. {Prendendo come centro e la polare armonica come asse d’omologia, ogni cubica sarà omologica (armonica) a se stessa.}
  3. Chasles {Sur les courbes da 3e et du 4e degré, Lettres à M. Quetelet (Corresp. math. et ph. t. 5, Bruxelles 1829, p. 236)}, Aperçu historìque, p. 349.
  4. [p. 506 modifica]A questo punto, nella Einleitung, pag. 225-226, è inserito, prima di (b), un breve (a bis), tolto dal § 4 della Memoria 49 (Considerazioni sulle curve piane del 3.º ordine...) di queste Opere, o dal n. 26 dell'altra Memoria 53, già più volte citata.
    Lo stesso dicasi poi: per l’aggiunta di un 139 e) che si trova nella Einleitung a pag. 227; per un’altra breve aggiunta a pag. 234, alla fine del n. 142; e finalmente per quella al n. 148 che è proposta al termine dell’Errata della Einleitung.
  5. Maclaurin, l. c. p. 231.
  6. Plücker, System der analytischen Geometrie, p. 288.
  7. Salmon, Lettre à M. A. L. Crelle (Giornale di Crelle, t. 39, Berlino 1850, p. 365).
  8. {Se sono sei punti di una conica tali che le rette concorrano in un punto , tutte le cubiche passanti per avranno un flesso in ; e la relativa polare armonica sarà la polare di rispetto alla conica data.}
  9. Hesse, Ueber die Wendepuncte u. s. w. p. 107.
  10. Plücker, System der analytischen Geometrie, p. 284.
  11. Clebsch, Ueber die Wendetangenten der Curven dritter Ordnung (Giornale Crelle-Borchardt, t. 58, Berlino 1861, p. 232).
  12. Questa proprietà sarà dimostrata fra poco (142).
  13. È desiderabile una definizione di questa curva come inviluppo di una retta variabile.
  14. [Altrimenti:] {Se è un vertice di un trilatero sizigetico, e se è uno dei flessi contenuti nel lato opposto, la polare armonica è (139) il luogo del punto coniugato armonico di rispetto alle intersezioni degli altri due lati con una trasversale qualunque per . Dunque passa per .}
  15. Hesse, Eigenschaften der Wendepuncte der Curven dritter Ordnung u. s. w. (Giornale di Crelle, t. 38, Berlino 1849, p. 257-261).
  16. Hesse, Ueber die Elimination der Variabeln u. s. w. (Giornale di Crelle, t. 28, Berlino 1844, p. 89).
  17. Salmon, Higher plane curves, p. 184. — Aronhold, Zur Theorie der homogenen Functionen dritten Grades von drei Variabeln (Giornale di Crelle, t. 39, Berlino 1850, p. 153). — {Le sei cubiche di cui sopra si parla si dividono in tre coppie; le cubiche di una coppia sono l’una Hessiana dell’altra.}
  18. {I tre punti sono i centri armonici (di 3º grado) del punto rispetto ai quattro punti .}
  19. Plücker, System der analytischen Geometrie, p. 265.
  20. Salmon, Higher plane curves, p. 192.