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introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane.

le tangenti che convergono al flesso $i$ (139). Sia $r$ uno de’ punti doppi dell’involuzione; la cubica passante per $r$ toccherà ivi sì la trasversale ${\rm {I}}$ che la retta $ri$, cioè avrà in $r$ un punto doppio. Ma i soli punti doppi in un fascio di cubiche sizigetiche sono le intersezioni scambievoli delle terne di rette contenenti a tre a tre i flessi (140, b); dunque i quattro trilateri (sizigetici) formati da tali rette hanno i loro vertici allineati a quattro a quattro sulle polari armoniche de’ flessi.

Di qui si ricava che, se $r$ è un vertice di un trilatero sizigetico, $r$ dovrà giacere nella polare armonica di ciascuno de’ tre flessi situati nel lato opposto del trilatero medesimo¹; ossia:

I punti in cui si segano a tre a tre le polari armoniche dei flessi sono i vertici dei quattro trilateri formati dalle dodici rette nelle quali giacciono distribuiti a tre a tre i flessi medesimi².

Considerando uno qualunque de’ trilateri sizigetici, i suoi lati contengono i nove flessi, mentre pei vertici passano le nove polari armoniche. Sia $r$ uno dei vertici ed $123$ i flessi giacenti nel lato opposto. Siccome per $r$ passano le polari armoniche di $123$, le quali fanno parte delle coniche polari di questi punti rispetto a tutte le cubiche sizigetiche del dato fascio (140), così la retta $123$ sarà, relativamente a tutte queste curve, la retta polare del punto $r$ (130, a). Dunque ciascun vertice di un trilatero sizigetico è polo del lato opposto rispetto a tutte le cubiche sizigetiche.

143. Proseguendo a studiare il fascio delle cubiche sizigetiche, una qualunque di esse sia incontrata dalla polare armonica ${\rm {I}}$ del flesso $i$ ne’ punti $mm'm''$, onde in questi punti le tangenti alla curva saranno $i(m,m',m'')$. La tangente (stazionaria) alla cubica medesima nel flesso $i$ incontri ${\rm {I}}$ in $n$. La cubica è individuata da uno qualunque de’ quattro punti $nmm'm''$, epperò, al variare di quella, la terna $mm'm''$ genera un’involuzione (di terzo grado) projettiva alla semplice punteggiata formata dai punti $n$.

Se $rr_{1}r_{2}r_{3}$ sono i punti doppi dell’involuzione, essi sono anche (142) vertici de’ quattro trilateri sizigetici; siano poi $ss_{1}s_{2}s_{3}$ le intersezioni dei lati rispettivamente opposti colla retta ${\rm {I}}$. Per queste cubiche trilatere, le tangenti al flesso $i$ sono evidentemente gli stessi lati $i(s,s_{1},s_{2},s_{3})$; ond’è che, ogni qualvolta i due punti $m'm''$ coincidono in $r$, i punti $mn$ si confondono insieme con $s$.

La retta $in$, che tocca una cubica del fascio nel flesso $i$, è anche tangente all’Hes-

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1. [Altrimenti:] {Se $r$ è un vertice di un trilatero sizigetico, e se $i$ è uno dei flessi contenuti nel lato opposto, la polare armonica ${\rm {I}}$ è (139) il luogo del punto coniugato armonico di $i$ rispetto alle intersezioni degli altri due lati con una trasversale qualunque per $i$. Dunque ${\rm {I}}$ passa per $r$.}
2. Hesse, Eigenschaften der Wendepuncte der Curven dritter Ordnung u. s. w. (Giornale di Crelle, t. 38, Berlino 1849, p. 257-261).