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448 introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane.

niugati concorrono in uno stesso punto della medesima (133); d’altronde essendo un flesso anche per l’Hessiana (140, a), questa curva ha ivi colla sua tangente un contatto tripunto; dunque la tangente in sega l’Hessiana in , ossia la retta che è tangente (stazionaria) della cubica fondamentale nel flesso è anche tangente (ordinaria) dell’Hessiana nel polo coniugato 1.

Questa proprietà si poteva anche conchiudere dalla teoria generale (118, c; 119 b), dalla quale segue ancora che tutte le coniche polari passanti per hanno ivi fra loro un contatto tripunto.

(a) Ciascuna tangente stazionaria della cubica fondamentale, essendo anche una tangente ordinaria dell’Hessiana, conta come due tangenti comuni; onde le due curve avranno altre tangenti comuni. Siccome poi ogni tangente dell’Hessiana ha due poli coincidenti nel punto coniugato al punto di contatto e gli altri due poli distinti nella Cayleyana (135), così le diciotto tangenti (ordinarie) comuni all’Hessiana ed alla cubica fondamentale toccano quest’ultima curva ne’ punti in cui essa è incontrata dalla Cayleyana.

(b) In generale, se sono due poli coniugati, e se è il terzo punto comune all’Hessiana ed alla retta , questa tocca la Cayleyana nel punto coniugato armonico di rispetto ai due (135, c). Ma allorchè sia un flesso della cubica fondamentale, coincide con ; epperò (4) anche si confonde con . Dunque la Cayleyana tocca l’Hessiana nei nove poli coniugati ai flessi della cubica fondamentale.

(c) Una tangente della Cayleyana, quale è (fig. 8.ª), sega questa curva in quattro punti , i quali sono le intersezioni di colle rette costituenti le coniche polari di (135). Quando è un flesso della cubica fondamentale, la conica polare di è costituita dalla tangente stazionaria e dalla polare armonica, e quest’ultima si confonde con , perchè ed coincidono insieme. Ond’è che de’ due punti l’uno cade in (od ) e l’altro si unisce all’intersezione di due tangenti infinitamente vicine della Cayleyana, cioè al punto di contatto fra questa curva e la retta . Questa retta ha dunque un contatto tripunto colla Cayleyana; e siccome questa curva, essendo della terza classe e del sest’ordine, non può avere altre singolarità all’infuori di nove cuspidi (99, 100), così:

Le polari armoniche dei nove flessi della cubica fondamentale sono tangenti alla Cayleyana nelle nove cuspidi di questa curva.

(d) L’Hessiana e la Cayleyana sono dotate di proprietà completamente reciproche. Infatti:


  1. Clebsch, Ueber die Wendetangenten der Curven dritter Ordnung (Giornale Crelle-Borchardt, t. 58, Berlino 1861, p. 232).