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introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane.

Quanto precede mette in evidenza che un flesso di una cubica ha, rispetto a questa ed alla sua polare armonica, le stesse propriet๠che un punto qualunque possiede riguardo ad una conica ed alla sua retta polare (107). ⁹²

(b) Se tre rette segano la cubica data rispettivamente ne’ punti $iaa',jbb',lcc'$, e se $ijl,abc$ giacciono in due rette, anche $a'b'c'$ sono in linea retta (39, a). Supposto che i punti $ijl$ coincidano in un solo (flesso) $i$, le due rette $abc,a'b'c'$ concorreranno, come or ora si è osservato, sulla polare armonica di $i$. Se inoltre i punti $abc$ coincidono in un punto unico, lo stesso avrà luogo de’ punti $a'b'c'$; dunque:

La retta che unisce due flessi di una cubica sega questa in un terzo flesso². E le tangenti (stazionarie) in due qualunque di questi tre flessi concorrono sulla polare armonica del terzo.

(c) Da questo teorema e dalla definizione della polare armonica d’un flesso si raccoglie che, se $123$ sono tre flessi in linea retta, il punto coniugato armonico di $1$ rispetto a $23$ è situato nella polare armonica di $1$, ecc.; e che per conseguenza le polari armoniche de’ flessi $123$ sono le rette che uniscono i vertici del trilatero formato dalle relative tangenti stazionarie, col polo della retta $123$ rispetto al trilatero medesimo (76).

(d) Il teorema “se tre flessi $123$ della cubica sono in linea retta, le loro polari armoniche ${\rm {I_{1}I_{2}I_{3}}}$ concorrono in uno stesso punto„ può dimostrarsi anche così. Siano ${\rm {I_{1}'I_{2}'I_{3}'}}$ le tangenti (stazionarie) della cubica ne’ tre flessi nominati; le coppie di rette ${\rm {I_{1}I_{1}',I_{2}I_{2}',I_{3}I_{3}'}}$ sono le coniche polari de’ punti medesimi, e queste coniche devono essere circoscritte ad uno stesso quadrangolo, i cui vertici siano i poli della retta $123$ (130, a). Vale a dire, le rette ${\rm {I_{3}I_{3}'}}$ devono passare pei quattro punti ${\rm {I_{1}'I_{2},I_{1}'I_{2}',I_{1}I_{2},I_{1}I_{2}'}}$. Ma le tangenti in due de’ flessi $123$ s’incontrano sulla polare armonica del terzo, ossia ${\rm {I_{3}}}$ passa pel punto ${\rm {I_{1}'I_{2}'}}$; dunque ${\rm {I_{3}}}$ passerà anche pel punto ${\rm {I_{1}I_{2}}}$, c. d. d.

Di qui si raccoglie che i quattro poli di una retta che contenga tre flessi della cubica sono i vertici del trilatero formato dalle tre corrispondenti tangenti stazionarie, ed il punto di concorso delle polari armoniche de’ tre flessi³.

140. Tre trasversali condotte pel flesso $i$ seghino la data cubica nei punti $aa',bb',cc'$; esse incontreranno la retta ${\rm {I}}$, polare armonica di $i$, nei punti $\alpha ,\beta ,\gamma$ coniugati armonici di $i$ rispetto alle coppie $aa',bb',cc'$. Ma gli stessi punti $\alpha \beta \gamma$ giacciono anche nella conica polare di $i$ relativa a qualsivoglia cubica descritta pei sette punti $iaa'bb'cc'$ (139). Dunque questa conica polare si risolve in due rette, una delle quali è ${\rm {I}}$; vale a dire

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1. Chasles {Sur les courbes da 3^e et du 4^e degré, Lettres à M. Quetelet (Corresp. math. et ph. t. 5, Bruxelles 1829, p. 236)}, Aperçu historìque, p. 349.
2. Maclaurin, l. c. p. 231.
3. Plücker, System der analytischen Geometrie, p. 288.