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introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane. |
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ove
![{\displaystyle {\rm {A,A',B,\dots }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49deaaccbfa9438eac79a8029524ffad95844e1f)
sono coefficienti costanti. Il punto
![{\displaystyle s}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01d131dfd7673938b947072a13a9744fe997e632)
corrispondente ad
![{\displaystyle r}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d1ecb613aa2984f0576f70f86650b7c2a132538)
(
143) suppongasi a distanza infinita, com’è lecito fare senza sminuire la generalità dell’indagine; perchè trattandosi qui di relazioni fra rapporti anarmonici, possiamo ai punti della retta
![{\displaystyle {\rm {I}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7143a9ca5e817630342a8959f5673b0d2895964d)
sostituire le loro projezioni fatte da un centro arbitrario sopra una retta parallela al raggio che passa per
![{\displaystyle s}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01d131dfd7673938b947072a13a9744fe997e632)
(
8).
Ciò premesso, siccome i tre valori di
corrispondenti ad
devono essere
,
,
, così se ne trae
,
,
.
D’altronde
è un punto della retta polare di
rispetto a qualunque cubica del fascio (142), quindi (11):
;
ma
è infinito, dunque
. Così l’equazione 1) diviene:
2)
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![{\displaystyle \mathrm {A} '.{\overline {rm}}^{3}+3(\mathrm {B} .rn+\mathrm {B} '){\overline {rm}}^{2}+\mathrm {D} '=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a273107fc4be474483702936805ce7e6c60afe05) .
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La condizione affinchè la 2), considerando
come incognita, abbia due radici eguali è:
3)
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![{\displaystyle \mathrm {A'^{2}D} '+4(\mathrm {B} .rn+\mathrm {B} ')^{3}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2bd88e09c6197a0b5506d5b89842e5c54e9a79e4) ,
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cioè questa equazione del terzo grado rispetto ad
darà quei tre punti
a ciascuno dei quali, come ad
, corrispondono due punti
coincidenti
.
Se nella stessa equazione 2) si fa
, ottiensi:
4)
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![{\displaystyle (\mathrm {A'+3B} ){\overline {rn}}^{3}+3\mathrm {B} '.{\overline {rn}}^{2}+\mathrm {D} '=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8301f64739420125a343e42df47c5fee58ccc967) ,
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ossia ciascuno de’ punti
dati dalla 4) coincide con uno de’ corrispondenti punti
. Ma i punti
dotati di tale proprietà sono (oltre ad
) gli stessi punti
dati dalla 3); dunque le equazioni 3), 4), dovendo ammettere le stesse soluzioni, avranno i coefficienti proporzionali.
L’equazione 4) non contiene l’
lineare; onde eguagliando a zero il coefficiente di
nella 3), si avrà
, ossia
; perchè il porre
farebbe scomparire il segmento
dalla 2). Quindi le 3), 4) divengono:
,
,
donde eliminando
si ha:
5)
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![{\displaystyle {\rm {(A'-B)(A'+2B)^{2}=0}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8523a744111c24d54d538899ba0bc8755b0532f9) .
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Posto
e per brevità
, ovvero posto
e per brevità