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introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane. | 449 |
Una tangente qualunque della Cayleyana sega l’Hessiana in due punti corrispondenti, cioè aventi lo stesso tangenziale, ed in un terzo punto che è il coniugato armonico del punto di contatto della Cayleyana rispetto ai primi due (135, c).
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In un punto qualunque dell’Hessiana concorrono tre tangenti della Cayleyana; due di esse sono corrispondenti, cioè la retta che ne unisce i punti di contatto è una tangente della Cayleyana; la terza poi è la coniugata armonica, rispetto alle due prime, della tangente all’Hessiana in (135, a).
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Da questa perfetta reciprocità segue che le proprietà della Cayleyana si potranno conchiudere da quelle dell’Hessiana e viceversa. Per esempio:
I nove punti , ne’ quali l’Hessiana è toccata dalle sue tangenti stazionarie, sono i flessi anche delle infinite curve di terzo ordine passanti pei medesimi.
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Le nove rette tangenti alla Cayleyana nelle cuspidi, sono tangenti cuspidali per tutte le infinite curve di terza classe ch’esse toccano.
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Al fascio di queste curve appartengono quattro trilateri, cioè i nove flessi sono distribuiti a tre a tre su dodici rette , delle quali in ogni punto ne concorrono quattro.
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Alla serie di queste curve appartengono quattro triangoli, cioè le nove rette concorrono a tre a tre in dodici punti , ciascuna di quelle contenendo quattro di questi.
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I vertici dei quattro trilateri sono i dodici punti 1.
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I lati dei quattro triangoli sono le dodici rette .
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Fra le curve di terz’ordine aventi i flessi in comune coll’Hessiana v’è anche la cubica fondamentale , rispetto alla quale l’Hessiana è il luogo di un punto che abbia per conica polare un pajo di rette, e la Cayleyana è l’inviluppo di queste rette.
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Le tangenti stazionarie della cubica toccano l’Hessiana e la Cayleyana ne’ punti comuni a queste due curve.
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Le cuspidi della curva sono i nove punti ove l’Hessiana e la Cayleyana si toccano.
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142. Dato un fascio di cubiche, una trasversale qualunque le incontra in terne di punti formanti un’involuzione di terzo grado, e ne’ punti doppi di questa la trasversale tocca quattro cubiche del fascio (49). Se le cubiche sono sizigetiche (ossia se hanno i nove flessi comuni) e se la trasversale è la polare armonica di un flesso , le tre intersezioni di una qualunque fra quelle cubiche sono i punti di contatto fra essa e
Cremona, tomo I. | 29 |