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introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane.

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$\mathrm {D} '=-h^{3}\mathrm {B}$, le equazioni 3), 4) in entrambi i casi danno:

6)	${\overline {rn}}^{3}-h^{3}=0$

e le radici di questa equazione saranno $rs_{1},rs_{2},rs_{3}$.

Fatto adunque $h^{3}={\overline {rn}}^{3}$, ${\rm {B'=0}}$ ed inoltre ${\rm {A'=B}}$, ovvero ${\rm {A'=-2B}}$, l’equazione 2) diviene nel primo caso:

7)	$(rm-rn)(rm+2rn)^{2}=0$,

e nel secondo:

$(rm-rn)^{2}(2rm+rn)=0$.

Cioè nel primo caso uno de’ tre punti $m$ corrispondenti ad $n=(s_{1},s_{2},s_{3})$ coincide collo stesso $n$, mentre gli altri due si riuniscono in un sol punto $(r_{1},r_{2},r_{3})$ diverso da $n$. Nel secondo caso invece, due de’ tre punti $m$ corrispondenti ad $n=(s_{1},s_{2},s_{3})$ cadrebbero in $n$. Ma nella quistione che ci occupa si verifica il primo caso, non il secondo (143); ond’è che dobbiamo assumere ${\rm {A'=B}}$, non già ${\rm {A'=-2B}}$.

Dunque la richiesta equazione per la projettività fra l’involuzione formata dalle terne di punti $mm'm''$ e la semplice punteggiata formata dai punti $n$ può essere scritta così:

8)	${\overline {rm}}^{3}+3rn.{\overline {rm}}^{2}-4h^{3}=0$,

ove $h$ esprime un coefficiente costante¹.

(a) I punti $s_{1}s_{2}s_{3}$ sono dati dall’equazione 6), ed i punti $r_{1}r_{2}r_{3}$ dalla 7):

$rm+2rn=0$,

ossia dalla:

${\overline {rm}}^{3}+8h^{3}=0$;

dunque entrambi i sistemi di quattro punti $ss_{1}s_{2}s_{3},rr_{1}r_{2}r_{3}$ sono equianarmonici (27).

Ne consegue che, se $i$ è un flesso reale delle cubiche sizigetiche, due de’ quattro vertici $r$ giacenti nella polare armonica ${\rm {I}}$ sono reali, gli altri due imaginari (26). E per la reciprocità già avvertita (141, d), due delle quattro rette ${\rm {R}}$ (lati de’ trilateri sizigetici) concorrenti in $i$ saranno reali, le altre due immaginarie. Che almeno uno de’ flessi di una cubica sia reale, risulta manifesto dall’essere dispari il numero totale delle intersezioni della cubica coll’Hessiana.

Sia dunque $1$ un flesso reale; e delle quattro rette ${\rm {R}}$ (140, b), cioè $123$, $148$, $157$, $169$, siano reali le prime due, imaginarie coniugate le altre. I quattro flessi $57$, $69$ saranno necessariamente tutti imaginari, ed invero uno de’ primi due sarà coniugato

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1. {I tre punti $mm'm''$ sono i centri armonici (di 3º grado) del punto $n$ rispetto ai quattro punti $ss_{1}s_{2}s_{3}$.}