Se una linea retta serà divisa in due parti come si voglia, quel che vien fatto dal dutto de tutta la linea in se medesima, è equale alli quadrati che vengono fatti dal dutto dell'una è l'altra parte in se medesima e al dutto, dell'una parte in l'altra due volte.
Corellario.
Da questo è manifesto che in ogni quadrato, le due superficie paralellogramme, che il diametro segha per mezzo son ambedue quadrate.
Sia la linea .a.b. divisa in .a.c. e .b.c. dico chel quadrato de tutta la linea .a.b. è equale alli duoi quadrati delle due linee .a.c. e .b.c. ed al doppio di quello che fatto dal dutto della linea .c.b. in la .a.c. (cioè del rettãgolo .d.e.c.b. in .a.c.) Et per dimostrar questo descriverò sopra la linea .a.b. per la quadragesima sesta, del primo il quadrato .a.b.f.g. e tiro il diametro .f.b. e dal ponto .c. per la trigesima prima propositione del primo, e duco la linea .c.h. equidistante alli duoi lati .b.g. ed .a.f. laqual sega il diametro .f.b. nel ponto .d. dalqual ponto .d. tiro la linea .k. e per la medesima trigesima prima del primo, equidistante alli duoi lati .a.b. e .f.g. e cosi tutto il quadrato .a.b.f.g. serà diviso in quattro rettangoli delli quali li duoi, cioe .a.k.c.d. e .h.d.g.e. sono li duoi supplemẽti, liquali sono equali fra loro per la quadragesima tertia propositione del primo, li altri duoi, cioè .k.d.f.h. e .c.d.b.e. sono quelli, che sono segati per mezzo dal diametro .f.b. e questi duoi sono quadrati laqual cosa se demostrerà in questo modo, perche .c.h. è equidistante al lato .a.f. e ambedue sono seghate della linea .f.b. dilche per la secõda parte della vigesimanona del primo l'angolo .b.d.c. intrinsico serà equale allo angolo .b.f.a. intrinsico a se opposito, e perche lo angolo .a.b.f. è equale anchora lui al ditto angolo .b.f.a. per la quinta propositione del primo, perche il lato .a.f. equale al lato .a.b. del triangolo .a.f.b. dilche per la prima concetione l'angolo .c.d.b. serà equale all'angolo .c.b.d. seguita adonque per la sesta propositione del primo, che'l lato .c.d. sia equale al lato .c.b. del triangolo .c.b.d. e per la trigesima quarta propositione del primo, il lato .d.e. serà equale al lato .c.b. similmẽte il lato .e.b. al lato .c.d. seguita adonque per la prima concettione che'l paralellogrammo .c.d.b.e. sia di quattro lati equali, dico anchora etiam quel esser rettangolo, perche la linea .c.d. è equidistante alla linea .e.b. e ambedue sono segate della linea .a.b.d. dilche per la tertia parte della vigesima nona del primo, li duoi angoli .d.c.b. ed .e.b.c. intrinsici sono equali a duoi angoli retti, e perche l'angolo .e.b.c. è retto per essere l'angolo del quadrato .a.b.f.g. è necessario che etiam l'angolo .d.c.b. sia retto e per la trigesima quarta del primo , li duoi angoli .c.d.e. e .b.e.d. contrapositi seranno retti, adonque .c.b.d.e. serà quadrato, e serà il quadrato della linea.c.b. e per lo medesimo modo e via se approverà .k.d.f.h. esser quadrato, dilche il correlario serà manifesto, e perche il lato .k.d. del quadrato .k.d.f.h. (per trigesima quarta del primo) è equale alla linea .a.c. seguita adonque che'l quadrato .k.d.f.h. sia il quadrato della linea .a.c. Adonque li duoi quadrati .c.b.d.e. e .k.d.f.h. sono li duoi quadrati delle due linee .a.c. e .c.b. e perche li duoi supplementi .a.c.k.d. ed .h.d.g.e. sono equali, per la quadragesima tertia del primo, e lo supplemento .a.c.k.d. è contenuto sotto alla linea .a.c. ed alla linea .c.b. (perche .c.d. è equale al .c.b.) adonque ambiduoi li supplementi .a.c.k.d. et .h.d.g.e. gionti insieme seranno il doppio del produtto della parte .a.c. m la parte .c.b. et perche questi duoi supplementi insieme con li duoi quadrati de [p. 42vmodifica]c. e .d.e.c.b. empieno precisamente il gran quadrato a.b.f.g. de tutta la linea .a.b. adonque tutti lor quatro sono equali a lui solo, che è il proposito. Nella prima tradottione se fa l dimostratione della presente quasi al opposito di questo, perche ivi prima constituisce il quadrato .c.d.b.e. sopra la parte .c.b. poi gli aggiõgo el detto quadretto il gnomone secondo il dutto diretivo dell'altra linea .a.c. ilquale se sarà in questo modo, in lo quadretto .c.d.b.e. tiro il diametro .b.d. e dal ponto .a. duco la perpendicolare sopra la linea .a.b. laqual sia la linea .a.k. laqual .a.k. insieme col diametro .d.b. produro fina a tanto che concorrano nel ponto .f. e dal ponto .f. produro .f.b. equidistante alla linea .a.b. laqual .f.b. insieme con .b.e. produro fina che concoranno in ponto .g. e produro .c.d. fina in .h. ed .e.d. fina .k. e cosi serà costituido il gran paralellogrammo .a.f.b.g. diviso in quattro paralellogrammi, come appare, hor ne bisogna dimostrar che lui sia quadrato insieme con lo paralellogrammo .k.f.d.h. e questo si farà mediante il presupposito quadretto .c.d.b.e. perche li duoi lati .e.d. ed .e.b. del triangolo .d.e.b. sono equali, li duoi angoli .e.d.b.e ed .e.b.d. sono etiam equali, per la quinta del primo, e perche l'angolo .e. è retto (dal prosupposito) dilche per la trigesima seconda del primo, li ditti duoi angoli .e.d.b. ed .e.b.d. ciascun di loro sarà la mittà d'un angolo retto, e per le medesime ragion l'uno e l'altro delli altri duoi angoli .c.d.b. e .c.b.d. seranno la mittà d'un angolo retto, per laqual cosa li quattro angoli, cioe .h.f.d. ed .h.d.f. e .k.f.d. e .k.d.f. ciascun di loro seranno la mittà d'un angolo retto, et questo se approverà (per la seconda parte della vigesima nona del primo) perche la linea .b.f. sega le due linee .a.f. ed .h.c. equidistante, e similmente le altre due .g.f. et .e.k. etiam .g.b. che sono pur equidistante, dilche l'angolo .h.f.d. serà equale all'angolo .e.d.b. che è la mittà d'un retto, et l'angolo .h.f.d. serà equale all'angolo .e.b.d. adõnque li due angoli .h.d.f. ed .h.f.d. sono equali perche ciascun è mezzo angolo retto, adonque li duoi lati .h.d. et .h.f. del triangolo .d.h.f. per la sesta del primo, serãno equali similmente li duoi lati .k.d. e .k.f. del triangolo .k.d.f. per le medesime ragion seran equali, e per la trigesima quarta del primo, il paralellogrammo .k.f.d.h. sarà de lati equali etiam rettangolo, perche li duoi angoli terminanti in .f. sono mezzo angolo retto per uno, adonque tutto l'angolo .g.f.a. serà retto, similmente l'angolo .h.d.k. e similmente per la tertia parte della vigesima nona del primo, l'angolo .a. e l'angolo .g. seranno retti, similmente li duoi lati .g.f. e .g.b. del triangolo .g.b.f. seranno equali (per la sesta del primo) e similmente li altri duoi lati .a.b. ed .a.f. dell'altro triangolo .a.b.f. serã equali. Adonque li duoi paralellogrammi .a.f.g.b. e .k.f.d.h. seranno quadrati, per la trigesima quarta del primo, e perche il gran quadrato .a.f.b.g. è il quadrato di tutta la linea .a.b. e quello è diviso in quattro rettangoli li duoi che sono attorno al diametro .f.b. sono li quadrati delle linee .a.c. e .c.b. perche la linea[p. 43rmodifica]k.d. è equale alla linea .a.c. e li duoi supplementi sono equali fra loro (per la quadragesima tertia del primo) e l'uno di quelli, cioe .a.k.c.d. è contenuto sotto alle due linee .a.c. e .c.b. perche .c.d. è equale al detto .c.b. Adonque li duoi supplementi .a.k.c.d.h.e.g. gionti insieme seranno il doppio di quello che è fatto dalla linea .a.c. in la linea .c.b. e perche li ditti duoi supplemẽti insieme con li duoi quadretti delle due linee .a.c. e .c.b. impieno precisamente il gran quadrato .a.f.b.g. adonque tutti quattro se aguagliano a lio solo, che è il proposito. Anchora per un'altro più spedito modo se puo far questa demostratione, sia anchora la medesima linea .a.b. divisa in .a.c. e .c.b. dico che'l quadrato de tutta la linea .a.b. è equale alli duoi quadratidelle due linee .a.c. e .c.b. insieme con il doppiodel rettangolo compreso sotto alle due linee .a.c. et .c.b. Che per questo altro modo lo dimostrarò sopra la linea .a.b. (per la quadragesima sesta del primo) cõstituisco il quadrato .a.f.b.g. in quello tiro tutte le linee, come di sopra fu fatto, cioe .f.b.c.h.k.e. e perche li tre angoli del triangolo .g.f.b. sono (per la trigesima seconda del primo) equali a duoi angoli retti, e perche l'angolo .g. è retto (dal presupposito) necessita adonque che li altri duoi (cioe l'angolo .g.f.b. e .g.b.f.) insieme siano un sol angolo retto, e perche li duoi lati .g.f. e .g.b.f. e .g.b. del ditto triangolo .g.f.b. sono equali (dal presupposito per esser li lati del quadrato) li duoi angoli .g.f.b. e .g.b.f. (per la quinta del primo) serãno equali, e perche tutti duoi sono un sol angolo retto, adonque cadauno di loro serà un mezzo angolo retto, e perche la linea .a.b. sega le due linee .f.a. e .h.c. equidistante, l'angolo .d.c.b. estrinsico serà equale all'angolo .a. intrinsico, e perche l'angolo .a. è retto (per esser l'angolo del quadrato) l'angolo .d.c.b. serà etiam retto, e perche li tre angoli del triangoletto .d.c.b. (per la detta trigesima seconda del primo) sono equali alli duoi angoli retti, e perche l'angolo .c. è retto li altri duoi insieme seranno un sol angolo retto, e perche l'angolo .d.b.c. è mezzo angolo retto (come se è provato nel triãgolo .a.f.b.) adonque l'altro angolo .c.d.b. serà un0'altro mezzo angolo retto. Adonque li duoi angoli .c.b.d. e .c.d.b. seranno equali (e per la sesta del primo) li duoi lati .c.d. e .c.b. seranno etiam equali (e per la trigesima quarta del primo) il lato .d.e. serà equale al lato .c.b. e, lo lato .e.b. al lato .c.d. e l'angolo .d.e.b. all'angolo .d.c.b. ch'è retto, similmente tutto l'angolo .b. è retto (ch'è l'angolo del gran quadrato) retto serà etiam tutto l'angolo .d. a lui opposito, adonque .c.d.b.e. serà quadrato, (e della linea .c.b. come appare) e per la medesima ragione serà etiam quadrato .k.d.f.h. seguita adonque che li duoi paralellogrammi .c.d.b.e. e .k.d.f.b. che sono intorno al diametro .f.b. sono quadrati, il correlario adonque serà manifesto, e perche .d.k. è equale al .c.a. il quadrato adonque .k.d.f.h. serà il quadrato della linea .a.c. e perche li duoi supplementi .a.k.c. .a.k.c.d .a.k.c.d e .d.h.e.g. sono equali (per la quadragesimatertia del primo) e perche il supplemento .a.c.k.d. è contenuto sotto la linea .a.c. e alla linea .c.b. (per esser .c.d. equale al ditto .c.[p. 43vmodifica]b.) adonque ambiduoi li ditti supplementi insieme, seranno il doppio del rettangolo fatto della linea .a.c. in la linea .c.b. e perche li detti duoi supplementi insieme con li detti duoi quadrati delle due linee .a.c. e .c.b. impieno precisamente il gran quadratto .a.f.b.g. della linea .a.b. adonque tutti quattro seranno equali a lui solo, che è il proposito. Anchorampiù facilmente se poteva far la demostration della soprascritta propositione (per la seconda e terza propositione) esempli gratia, sia anchora la linea .a.b. divisa in .a.c. e .c.b. dico che'l quadrato de tutta la linea .a.b. serà equale alli duoi quadratti delle dette due linee .a.c.b. e al doppio del rettangolo compreso sotto alle due parti .a.c. e .b.c. che per questo altro breve modo se dimostrerà. Perche il quadrato della linea .a.b. (divisa in .c.) è equale (per la seconda propositione di questo) alli duoi rettangoli fatti di tutta la linea .a.b. in le sue due parti .a.c. e .c.b. ma perche ciascun di questi duoi rettangoli sono equali al rettangolo de l'una in l'altra ed al quadrato di essa parte (per la tertia di questo) esempli gratia, il rettangolo de tutta la linea .a.b. in la parte .a.c. è equale al rettangolo della .a.c. in la c.b. ed al quadrato della detta .a.c. (per la tertia di questo) similmente l'altro rettangolo della linea .a.b. in l'altra .c.b. è pur equale a un'altro rettangolo della ditta linea .c.b. in la detta linea .a.c. ed al quadrato della ditta linea .c.b. (come nella detta tertia questa fu dimostrato) e perche adonque questi duoi rettangoli della linea .a.b. in le due parti .a.c. e .c.b. uno di loro è composto del quadrato della parte .a.c. e d'un rettãgolo della .c.b. in la .a.c. e l'altro è composto il quadrato dell'altra parte .c.b. e d'un altro rettangolo pur della c.b. in la .a.c. dilche tra tutti duoi li detti rettangoli de .a.b. in le due parti .a.c. e .c.b. conteneranno li duoi quadrati de le due parti .a.c. e .c.b. etiam due volte el rettangolo della .c.b. in la .a.c. e perche li detti dui rettangoli de .a.b. in le due parti .a.c. et .c.b. sono equali al quadrato della detta linea .a.b. (come è detto di sopra) seguita adonque (per la prima concettione) che li dui quadrati de le due linee .a.c. et c.b. con lo doppio del rettangolo della .b.c. in la .a.c. esser equali al detto quadrato del la detta linea .a.b. che è il proposito, ma procedendo per questo modo non se verria a delucidar il correllario, cioe che le superficie che sono seghate dal diametro ambedue siano quadrate, pero è meglio ciascun delli altri tre modi di sopra posti, ma non volendo approvar il correllario questo seria piu breve.
del rettangolo compreso sotto alle due linee .a.c. et .c.b. Che per questo altro modo lo dimostrarò sopra la linea .a.b. (per la quadragesima sesta del primo) cõstituisco il quadrato .a.f.b.g. in quello tiro tutte le linee, come di sopra fu fatto, cioe .f.b.c.h.k.e. e perche li tre angoli del triangolo .g.f.b. sono (per la trigesima seconda del primo) equali a duoi angoli retti, e perche l'angolo .g. è retto (dal presupposito) necessita adonque che li altri duoi (cioe l'angolo .g.f.b. e .g.b.f.) insieme siano un sol angolo retto, e perche li duoi lati .g.f. e .g.b.f. e .g.b. del ditto triangolo .g.f.b. sono equali (dal presupposito per esser li lati del quadrato) li duoi angoli .g.f.b. e .g.b.f. (per la quinta del primo) serãno equali, e perche tutti duoi sono un sol angolo retto, adonque cadauno di loro serà un mezzo angolo retto, e perche la linea .a.b. sega le due linee .f.a. e .h.c. equidistante, l'angolo .d.c.b. estrinsico serà equale all'angolo .a. intrinsico, e perche l'angolo .a. è retto (per esser l'angolo del quadrato) l'angolo .d.c.b. serà etiam retto, e perche li tre angoli del triangoletto .d.c.b. (per la detta trigesima seconda del primo) sono equali alli duoi angoli retti, e perche l'angolo .c. è retto li altri duoi insieme seranno un sol angolo retto, e perche l'angolo .d.b.c. è mezzo angolo retto (come se è provato nel triãgolo .a.f.b.) adonque l'altro angolo .c.d.b. serà un0'altro mezzo angolo retto. Adonque li duoi angoli .c.b.d. e .c.d.b. seranno equali (e per la sesta del primo) li duoi lati .c.d. e .c.b. seranno etiam equali (e per la trigesima quarta del primo) il lato .d.e. serà equale al lato .c.b. e, lo lato .e.b. al lato .c.d. e l'angolo .d.e.b. all'angolo .d.c.b. ch'è retto, similmente tutto l'angolo .b. è retto (ch'è l'angolo del gran quadrato) retto serà etiam tutto l'angolo .d. a lui opposito, adonque .c.d.b.e. serà quadrato, (e della linea .c.b. come appare) e per la medesima ragione serà etiam quadrato .k.d.f.h. seguita adonque che li duoi paralellogrammi .c.d.b.e. e .k.d.f.b. che sono intorno al diametro .f.b. sono quadrati, il correlario adonque serà manifesto, e perche .d.k. è equale al .c.a. il quadrato adonque .k.d.f.h. serà il quadrato della linea .a.c. e perche li duoi supplementi .a.k.c. .a.k.c.d .a.k.c.d e .d.h.e.g. sono equali (per la quadragesimatertia del primo) e perche il supplemento .a.c.k.d. è contenuto sotto la linea .a.c. e alla linea .c.b. (per esser .c.d. equale al ditto .c. 
l'altro rettangolo della linea .a.b. in l'altra .c.b. è pur equale a un'altro rettangolo della ditta linea .c.b. in la detta linea .a.c. ed al quadrato della ditta linea .c.b. (come nella detta tertia questa fu dimostrato) e perche adonque questi duoi rettangoli della linea .a.b. in le due parti .a.c. e .c.b. uno di loro è composto del quadrato della parte .a.c. e d'un rettãgolo della .c.b. in la .a.c. e l'altro è composto il quadrato dell'altra parte .c.b. e d'un altro rettangolo pur della c.b. in la .a.c. dilche tra tutti duoi li detti rettangoli de .a.b. in le due parti .a.c. e .c.b. conteneranno li duoi quadrati de le due parti .a.c. e .c.b. etiam due volte el rettangolo della .c.b. in la .a.c. e perche li detti dui rettangoli de .a.b. in le due parti .a.c. et .c.b. sono equali al quadrato della detta linea .a.b. (come è detto di sopra) seguita adonque (per la prima concettione) che li dui quadrati de le due linee .a.c. et c.b. con lo doppio del rettangolo della .b.c. in la .a.c. esser equali al detto quadrato del la detta linea .a.b. che è il proposito, ma procedendo per questo modo non se verria a delucidar il correllario, cioe che le superficie che sono seghate dal diametro ambedue siano quadrate, pero è meglio ciascun delli altri tre modi di sopra posti, ma non volendo approvar il correllario questo seria piu breve.