Trattato delle cose che stanno sul liquido/Libro secondo/Proposizione X
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Traduzione dal greco di Anonimo (1822)
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PROPOSIZIONE X.
La retta porzione d’una conoide rettangola più leggieri del liquido, quando avrà l’asse, che abbia maggior porzione alla linea fino all’asse, che il quindici al quattro, messa nel liquido, talchè la sua base tocchi il liquido, talvolta non istarà se non retta, e talvolta starà inclinata: e talora in maniera che la sua base tocchi la superficie del liquido in un punto, e ciò in due positure: talora in maniera che la base più si sommerga nel liquido, alle volte in forma che non tocchi in nessuna maniera il liquido: secondo la proporzione, che avrà la gravità del solido a quella di esso liquido: come tutto ciò partitamente si dimostrerà qui sotto (fig. 4. tav. 2)
Sia la gravità della porzione a quella del liquido, come il quadrato di Z al quadrato di BQ, e congiunta QC, e divisa pel mezzo in A’ si descriva la parabola CA’B, la quale divide pel mezzo tutti i rami, che dal punto С terminano alla parabola AQC (per lo lemma 1.) e sia altresì CDKM una parabola, che passi per tutti i centri di gravità delle conoidi paraboliche tagliate da’ piani, che рassano per lo punto C (siccome nel coroll. 2. del lemma 4. si è veduto) e tirata dal vertice D la DV parallela alla base АС, sarà BV nove quindicesimi dell’asse (per lo lemma 5.) onde essendo BK cinque quindicesimi del medesimo, per essere K centro di gravità della conoide AQC, sarà KV quattro quindicesimi dello stesso, ed avendo BQ maggior proporzione alla linea fino all’asse (la quale sia KN) che di quindici а quattro, sarà KN minore di KV, e tirata NHG parallela a VD, segherà la parabola MDC ne’ punti H, G, pe’ quali si tirino le parallele all’asse LHB’, OGC’, e si tirino le tangenti LS, OR; e pongasi ВТ sesquialtera di KN, onde la rimanente QT sarà sesquialtera della QN, siccome è tutta la BQ della QK.
Ciò posto: dico primieramente che se Z non è minore di QT eccesso dell’asse sopra il sesquialtero della retta fino all’asse, la porzione ABC infusa nel liquido non istarà se non retta: come è dimostrato nella prop. 4. di questo 2. libro.
Dico in secondo luogo, che se Z è minore di QT, ma però maggiore di LB’, potrà la conoide stare inclinata immersa nel liquido in maniera, che la base AC non tocchi esso liquido, e l’asse BQ faccia colla superficie del liquido un angolo maggiore dell’angolo LSQ. Perchè allоrа due terzi di Z saranno minori di due terzi di QT, cioè di QN, e maggiori di due terzi di LB’, cioè di LH; dunque sopra la linea NH (fig. 5. tav. 2.) si potrà nello spazio parabolico QLHN adattare la XP parallela аll’asse, ed uguale a due terzi di Z, nello spazio intermedio fra la maggiore QN, e la minore LH, e prolungata XP sino alla parabola CA’B in D’, ed ordinata la CD’O’, per essere XI uguale a due terzi di XD’, sarà XD’ maggiore della Z, di cui è due terzi la PX, posta dunque XT’ eguale a Z, ed ordinata la P’T’F’ parallela a CO’, sarà la porzione conoidale P’XF’ quella che può stare immersa nel liquido, per avere il suo diametro XT’ uguale a Z; ed essendo XT’ sesquialtera di XP, sarà il punto P centro di gravità della parte sommersa P’XF’; e la linea KP, che congiunge il centro di tutta la conoide K con quello della parte sommersa, riesce perpendicolare alla tangente &XE parallela alla base P’F’, ovvero alla superficie del liquido; adunque la conoide si fermerà in tal sito, essendo l’asse inclinato alla superficie del liquido, per l’angolo X&Q maggiore di LSQ esterno. Il che ec.
Dico in terzo luogo, (fig. 6. tav. 2.) che se Z è eguale ad LB’, ovvero ad OC’, nell’uno e nell’altro caso posta la conoide nel liquido, vi si fermerà inclinata nell’angolo LSQ, se Z uguaglia LB’, ma nell’angolo ORQ, se Z è uguale ad OC’, di maniera che la base AC tocchi la superficie del liquido nel punto C. Perchè congiunta la CB’E sarà la porzione ELC quella che dovrà stare sommersa, essendo Z uguale ad LB’; ed il suo centro sarà in H, e congiunta KH sarà perpendicolare alla tangente LS; dunque nell’angolo LSQ starà inclinata la porzione conoidale. Similmente congiunta CC’F, la porzione COF sarà quella che dovrà stare sommersa, quando Z uguagli OC’, ed è G il centro di tale porzione, e congiunta KG riesce altresì perpendicolare alla tangente OR, onde starà inclinata ancora in questo caso la porzione conoidale secondo l’angolo ORQ. Il che ec.
Dico in quarto luogo (fig. 7. tav. 2.) che se Z è minore di LB’, e maggiore di OC’, si fermerà la porzione inclinata coll’asse alla superficie del liquido, ma colla base viepiù sommersa nel liquido; perchè allora due terzi di Z saranno minori di due terzi di LB’, cioe di LH, ma però maggiori di due terzi di OC’, cioè di OG, e però nello spazio parabolico LHGO applicando XP uguale a due terzi di Z, parallela ad LH, caderà nel sito intermedio fra le due LH, OG; e prolungata XP fino alla parabola CC’B in D’, ed ordinata CD’O’, essendo XD’ sesquialtera di XI, la quale è minore di XP, a cui è sesquialtera la Z, sarà XD’ minore di Z; e posta XT’ eguale a Z, sarà il punto T’ nella XD’ prolungata, ed ordinando P’T’F’caderà il punto F’ oltre la base AC; essendo adunque P’XF’ la porzione conoidale che dee immergersi, per avere il diametro XT’ uguale a Z; ed il suo centro ritrovandosi nella linea NG in P, essendo XT’ sesquialtera di XP, sicchè la retta KP, la quale congiunge i centri, è perpendicolare alla tangente del vertice X, è manifesto, che con tale inclinazione si fermerà la porzione conoidale, colla base AC infusa nel liquido. Il che ec.
In quinto luogo (fig. 8. tav. 2.) Se finalmente Z è minore di ОС’, posta la porzione nel liquido, vi starà inclinata ad un angolo minore di ORQ, sicchè la base AC non tocchi esso liquido: perchè allora due terzi di Z saranno minori di OG, che è due terzi di ОС’: si арplichi dunque su la linea NG prolungata la XP parallela all’asse, ed uguale a due terzi di Z, e si prolunghi XP in D’ alla parabola CC’B, sarà dunque XD’ sesquialtera di XI, e Z è sesquialtera di XP, ma XI è maggiore di XP, dunque XD’ è maggiore altresì di Z, e posta XT’ uguale a Z, ed ordinate al diametro XD’ le rette CD’В’, F’Т’O’, la porzione F’XO’ sarà quella, che dovrà immergersi nel liquido, avendo il suo diametro XT’ uguale a Z, ed il suo centro sarà in P, e la retta che congiunge i punti К, P sarà perpendicolare alla tangente X&; onde la porzione rimarrà inclinata nell’angolo X&Q, il quale è minore dell’esterno ORQ, e la base АС non toccherà altrimenti esso liquido. Il che ec.