Trattato delle cose che stanno sul liquido/Libro secondo/Proposizione V
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Traduzione dal greco di Anonimo (1822)
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PROPOSIZIONE V.
La retta porzione d’una conoide rettangola più leggieri del liquido, e che abbia l’asse più che sesquialtero della linea fino all’asse, e la cui gravità in ispecie a quella del liquido non abbia maggior proporzione, che l’eccesso del quadrato dell’asse sopra il quadrato, che si fa dalla linea, per cui l’asse è più che sesquialtero della linea fino all’asse, al quadrato di tutto l’asse, posta nel liquido, talchè la sua base sia tutta nel liquido, e posta inclinata, non istarà inclinata, ma ritornerà sì, che il suo asse sia a perpendicolo al liquido (fig. 18. tav. 1.)
Poste l’istesse cose, che nell’antecedente, perchè il quadrato BQ al1 quadrato FG sta come la porzione ABC alla DBE, il quadrato2 QB, toltone il quadrato FG, starà al quadrato QB, come la parte sommersa ADEC alla porzione ABC, cioè3 come Y a Z, che è la proporzione della gravità in ispecie del liquido a quella della porzione; ma Y a Z ha proporzione,4 o eguale, o minore del quadrato QB, toltone il quadrato XB, al quadrato QB, adunque il quadrato QB, toltone il quadrato FG, al quadrato QB, avrà, o eguale, o minor proporzione del quadrato QB, toltone il quadrato XB, all’istesso quadrato QB; laonde il quadrato XB, o è eguale, o minore del quadrato FG, sicchè la linea XB è o eguale, o minore di FG; ma come5 sta XB a FG, così sta ВО a LG, adunque ВО sarà, о еguale, o minore di LG, per lo che il punto M caderà tra L, e G. Sicchè ec. concludendosi, come nell’antecedente.
SCOLIO. Per dimostrare la sesta, e le seguenti proposizioni ci è paruto bene (tralasciata la lunga, e troppo intricata maniera del Rivalto, e del Commandino che non rassomiglia gran fatto il metodo, che può presupporsi adoperato dall’acutissimo Archimede) di addurre alcuni lemmi, со’ quali un’altra assai più chiara, e spedita prova ne nasce, inventata dal dottissimo geometra il padre abate Grandi matematico di S.A.R. e dello studio Pisano.
LEMMA I. Se le rette AB, AC, AD, da uno stesso punto A condotte al centro della parabola BCD, si taglieranno proporzionalmente ne’ punti E, F, H, sarà la curva che passa pe’ punti EFH, parimente una parabola (fig. 19. tav. 1.)
Generalmente ciò si verifica in qualunque curva, perchè colla medesima proporzione dividendo i suoi rami tirati ad essa da un medesimo punto, sempre ne nasce una curva della stessa specie, ed anche similmente posta; sia il punto che si piglia per origine di essi rami collocato dovunque si voglia. Ma nel nostro proposito ci basta dimostrare ciò della parabola, supponendo il punto A origine de’ rami nell’estremo della base AD, sopra la quale tirando le rette BK, CM, EI, FL paralelle al diametro della data parabola: essendo tutta la DA a tutta la АН, come CA ad AF, o come MA ad AL, ancora la rimanente MD, alla rimanente LH sarà nella stessa ragione, e però il rettangolo AMD al rettangolo ALH sarà simile, e in ragione dupla degli omologhi lati MA, AL, ovvero de’ rami CA, AF; nella stessa maniera si proveranno simili i rettangoli AKD, AIH nella ragione dupla degli omologhi lati MA, AL, ovvero de’ rami BA, AE, che è la stessa di CA, AF; dunque il rettangolo AMD al rettangolo ALH sta come il rettangolo AKD al rettangolo AIH; e permutando, la ragione de’ rettangoli AMD, AKD è la stessa che de’ rettangoli ALH, AIH; ma per la proprietà della parabola la prima ragione uguaglia quella delle rette CM, BK; dunque ancora la seconda; e però i rettangoli ALH, AIH sono come le rette CM, BK; ma essendo BK ad EI, come BA ad AE, cioè come CA ad AF, o pure come CM ad FL, permutando, e convertendo CM a BK sta come FL ad IE; dunque FL ad IE sta come il rettangolo ALH al rettangolo AIH; il che è una proprietà essenziale della parabola; e però la curva AEFH è parabolica. Il che ec.
LEMMA II. La cima della parabola AEH è nel punto E, quando il ramo AEB ferisce la parabola ABD nella sua cima В (fig. 19. tav. 1.)
Perchè essendo BK ad EI, come CM ad FL, se la BK è maggiore di qualunque altra CM, sarà altresì EI maggiore di qualsivoglia FL, e però sarà EI la maggiore di tutte le applicate alla base AH nella parabola AEH; adunque il punto E sarà la cima di tale parabola.
LEMMA III. Nella parabola ABD, se il ramo AC sega il diametro BK in S, e si ordina CR, saranno KB, SB, RB in continua proporzione (fig. 20. tav. 1.)
Perchè essendo simili i triangoli ASK, CRS sta KS ad SR, come AK a CR; ed il quadrato KS al quadrate SR, come il quadrato AK al quadrato CR, cioè come KB a BR,6 per la proprietà della parabola; che se non fosse BS media proporzionale fra le due KB, BR, fingasi fra di esse media qualunque altra BE; stando adunque KB, a BE, come BE, a BR, dividendo sarà KE а ЕВ, come ER ad RB, e permutando KE ad ER come EB ad RB, ed il quadrato KE al quadrato ER, come il quadrato ЕВ al quadrato BR, cioè come KB a BR, о come il quadrato di KA al quadrato di CR, cioè di KS al quadrato SR: sicchè avremmo KE ad ER come KS ad SR, e componendo KR ad RE, come la stessa KR ad RS, il che mostrerebbe RE uguale ad RS, la parte al tutto, che è impossibile. Dunque fra le due KB, BR è media solamente la BS.
COROLL. Quindi si raccoglie, che se una retta KB è divisa ne’ punti R, S, di maniera che come la KB alla BR, così sia il quadrato di KS al quadrato di SR, sono le tre linee KB, SB, RB in continua proporzione.
LEMMA IV. Divisi per mezzo i rami AD, AM, AB ne’ punti K, G, E, sia nata la parabola AEGK, e l’intercette KB, GI, EX fra l’una e l’altra curva parabolica, paralelle al diametro, siano di nuovo proporzionalmente divise ne’ punti S, F, V; sarà altresì una parabola quella, che passa per detti punti AVFS (fig. 21. tav. 1.)
Congiungasi il ramo AFL, e si ordini LH, paralella ad AM, che è base della parabola AIM, il cui diametro GI divide per mezzo essa AM in G, per l’ipotesi; saranno dunque proporzionali GI, FI, HI, per lo lemma precedente, e le loro differenze GF, FH saranno7 come le grandezze GI, IF; ma come GF ad FH, così per la similitudine de’ triangoli AFG, HLF, sta AF ad FL; adunque qualsivoglia ramo AL resta in F diviso nella ragione di GI ad IF, che si suppone sempre la medesima in tutte le intercette IG; e però secondo il primo lemma la curva AVFS è una parabola. Il che ec.
COROLL. I. Essendo tutte l’intercette BK, GI, XE diametri delle porzioni paraboliche ABD, ABM, AXB; ed il centro di gravità di ciascuna d’esse trovandosi collocato nel diametro, che sempre da esso resta diviso nella medesima proporzione sesquialtera, si può agevolmente dedurre dalle cose dimostrate, che i centri di gravità delle dette porzioni si trovano tutti disposti in una curva parabolica.
COROLL. II. Intendo ancora una conoide nata dalla rivoluzione della parabola ABD intorno il suo asse, venir segata da infiniti piani, che passino per lo stesso punto A, rappresentati dalle rette AG, AM, AB; tutte le porzioni conoidali ABC, ABM, AXB, avendo i centri loro di gravità proporzionalmente disposti ne’ lori diametri, li averanno collocati in una medesima curva parabolica.
LEMMA V. Il centro di gravità di qualsivoglia porzione conoidale tagliata per un piano, che passi pel punto A preso nella base AD della intera conoide ABD non è mai lontano da essa base AD più che per tre quinti dell’asse BK (fig. 1. tav. 2.)
Sia AFT la parabola, in cui sono i centri di gravità di qualunque porzione conoidale tagliata, come di sopra viene espresso; dunque il centro di gravità di qualsivoglia di esse porzioni non può essere più alto della base AD, di quel che sia la cima F di questa parabola AFT; la quale cima per lo lemma secondo è nella retta AB tirata al vertice della parabola ABD. Si tiri dunque FP paralella alla base AD; sarà PK la maggiore distanza, che aver possa dalla detta base AD il centro di gravità d’una tale porzione conoidale AIM. E si è dimostrato nel lemma precedente, che qualunque ramo AB resta dalla parabola AFT diviso in F in maniera, che AF ad FB sta come GI ad IF, cioè nel caso nostro in ragione sesquialtera; dunque AF ad FB, e conseguentemente ancora PK a PB sta come tre a due, e convertendo, indi componendo, sarà BK a KP come cinque a tre; dunque la maggiore distanza suddetta è tre quinti dell’asse BK. Il che ec.