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Generalmente ciò si verifica in qualunque curva, perchè colla medesima proporzione dividendo i suoi rami tirati ad essa da un medesimo punto, sempre ne nasce una curva della stessa specie, ed anche similmente posta; sia il punto che si piglia per origine di essi rami collocato dovunque si voglia. Ma nel nostro proposito ci basta dimostrare ciò della parabola, supponendo il punto A origine de’ rami nell’estremo della base AD, sopra la quale tirando le rette BK, CM, EI, FL paralelle al diametro della data parabola: essendo tutta la DA a tutta la АН, come CA ad AF, o come MA ad AL, ancora la rimanente MD, alla rimanente LH sarà nella stessa ragione, e però il rettangolo AMD al rettangolo ALH sarà simile, e in ragione dupla degli omologhi lati MA, AL, ovvero de’ rami CA, AF; nella stessa maniera si proveranno simili i rettangoli AKD, AIH nella ragione dupla degli omologhi lati MA, AL, ovvero de’ rami BA, AE, che è la stessa di CA, AF; dunque il rettangolo AMD al rettangolo ALH sta come il rettangolo AKD al rettangolo AIH; e permutando, la ragione de’ rettangoli AMD, AKD è la stessa che de’ rettangoli ALH, AIH; ma per la proprietà della parabola la prima ragione uguaglia quella delle rette CM, BK; dunque ancora la seconda; e però i rettangoli ALH, AIH sono come le rette CM, BK; ma essendo BK ad EI, come BA ad AE, cioè come CA ad AF, o pure come CM ad FL, permutando, e convertendo CM a BK sta come FL ad IE; dunque FL ad IE sta come il rettangolo ALH al rettangolo AIH; il che è una proprietà essenziale della parabola; e però la curva AEFH è parabolica. Il che ec.
LEMMA II. La cima della parabola AEH è nel punto E, quando il ramo AEB ferisce la parabola ABD nella sua cima В (fig. 19. tav. 1.)
Perchè essendo BK ad EI, come CM ad FL, se la BK è maggiore di qualunque altra CM, sarà altresì EI maggiore di qualsivoglia FL, e però sarà EI la maggiore di tutte le applicate alla base AH nella parabola AEH; adunque il punto E sarà la cima di tale parabola.
LEMMA III. Nella parabola ABD, se il ramo AC sega il diametro BK in S, e si ordina CR, saranno KB, SB, RB in continua proporzione (fig. 20. tav. 1.)
Perchè essendo simili i triangoli ASK, CRS sta KS ad SR, come AK a CR; ed il quadrato KS al quadrate SR, come il quadrato AK al quadrato CR, cioè come KB a BR,1 per la proprietà della parabola; che se non fosse BS media proporzionale fra le due KB, BR, fingasi fra di esse media qualunque altra BE; stando adunque KB, a BE, come BE, a BR, dividendo sarà KE а ЕВ, come ER ad RB, e permutando KE ad ER come EB ad RB, ed il quadrato KE al quadrato
