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ER, come il quadrato ЕВ al quadrato BR, cioè come KB a BR, о come il quadrato di KA al quadrato di CR, cioè di KS al quadrato SR: sicchè avremmo KE ad ER come KS ad SR, e componendo KR ad RE, come la stessa KR ad RS, il che mostrerebbe RE uguale ad RS, la parte al tutto, che è impossibile. Dunque fra le due KB, BR è media solamente la BS.
COROLL. Quindi si raccoglie, che se una retta KB è divisa ne’ punti R, S, di maniera che come la KB alla BR, così sia il quadrato di KS al quadrato di SR, sono le tre linee KB, SB, RB in continua proporzione.
LEMMA IV. Divisi per mezzo i rami AD, AM, AB ne’ punti K, G, E, sia nata la parabola AEGK, e l’intercette KB, GI, EX fra l’una e l’altra curva parabolica, paralelle al diametro, siano di nuovo proporzionalmente divise ne’ punti S, F, V; sarà altresì una parabola quella, che passa per detti punti AVFS (fig. 21. tav. 1.)
Congiungasi il ramo AFL, e si ordini LH, paralella ad AM, che è base della parabola AIM, il cui diametro GI divide per mezzo essa AM in G, per l’ipotesi; saranno dunque proporzionali GI, FI, HI, per lo lemma precedente, e le loro differenze GF, FH saranno1 come le grandezze GI, IF; ma come GF ad FH, così per la similitudine de’ triangoli AFG, HLF, sta AF ad FL; adunque qualsivoglia ramo AL resta in F diviso nella ragione di GI ad IF, che si suppone sempre la medesima in tutte le intercette IG; e però secondo il primo lemma la curva AVFS è una parabola. Il che ec.
COROLL. I. Essendo tutte l’intercette BK, GI, XE diametri delle porzioni paraboliche ABD, ABM, AXB; ed il centro di gravità di ciascuna d’esse trovandosi collocato nel diametro, che sempre da esso resta diviso nella medesima proporzione sesquialtera, si può agevolmente dedurre dalle cose dimostrate, che i centri di gravità delle dette porzioni si trovano tutti disposti in una curva parabolica.
COROLL. II. Intendo ancora una conoide nata dalla rivoluzione della parabola ABD intorno il suo asse, venir segata da infiniti piani, che passino per lo stesso punto A, rappresentati dalle rette AG, AM, AB; tutte le porzioni conoidali ABC, ABM, AXB, avendo i centri loro di gravità proporzionalmente disposti ne’ lori diametri, li averanno collocati in una medesima curva parabolica.
LEMMA V. Il centro di gravità di qualsivoglia porzione conoidale tagliata per un piano, che passi pel punto A preso nella base AD della intera conoide ABD non è mai lontano da essa base AD più che per tre quinti dell’asse BK (fig. 1. tav. 2.)
Sia AFT la parabola, in cui sono i centri di gravità di qualunque
