Trattato delle cose che stanno sul liquido/Libro secondo/Proposizione I
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Traduzione dal greco di Anonimo (1822)
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PROPOSIZIONE I.
Se una qualche grandezza più leggieri del liquido, si ponga nel liquido, avrà nella gravità quella proporzione a una egual mole di liquido, che la parte della grandezza sommersa ha a tutta la grandezza (fig. 10. tav. 1.)
Sia della grandezza FA1 più leggieri del liquido, la parte A sommersa. Dico che l’assoluta gravità di tutta AF, a quella d’un egual mole di liquido, sta come la parte a tutta la mole AF. L’assoluta gravità del liquido A, all’assoluta gravità del liquido AF, sta come la mole A, alla mole AF; ma l’assoluta gravità del liquido A, è uguale alla gravità della mole AF; adunque l’assoluta gravità della mole AF, a quella del liquido AF, sta come la mole A, alla mole AF, il che si dovea ec.
LEMMA I. Sia il cono equicrure rettangolo ABC, e in esso la parabola EDF, la cui cima D, ed il lato retto DR. Dico che DR sarà doppia di DC, e la DC si chiami linea fino all’asse (fig. 11. tav. 1.)
Poichè2 RD a DG sta come il quadrato di AB, al rettangolo di AC, CB, ma il quadrato di AB è doppio del rettangolo AC, BC, essendo3 uguale a’ quadrati d’AC, CB, ognuno de’ quali è un rettangolo fatto dalle AC, CB, che si sono supposte uguali, adunque anco il lato retto RD sarà doppio di DC. Il che ec.
LEMMA II. La tangente GA della parabola FCK convenga col diametro in A, e in esso si pigli la BL, uguale alla linea fino all’asse, e dal toccamento G, si tiri la GH paralella al diametro, e con essa concorra la BH perpendicolare al diametro. Dico che tirata la LH, sarà perpendicolare alla tangente GA (fig. 12. tav. 1.)
Tirisi la GD perpendicolare al diametro, e la EG perpendicolare alla tangente, e sia CR il lato retto della parabola. E perchè l’angolo AGE è retto, il rettangolo4 delle AD, DE sarà uguale al quadrato di GD,5 cioè al rettangolo di DC, CR, che però, come sta6 AD a DC, così reciprocamente sta CR a DE, ma AD è doppia7 di DC; adunque CR sarà doppia di DE, ma è anco8 doppia di BL, adunque BL sarà uguale a DE, e presa comune LD, sarà LE uguale a DB, cioè a HG; ma sono anco paralelle, sicchè EG, HL saranno paralelle, ed essendo EG perpendicolare alla GA, anco LI sarà perpendicolare alla medesima. Il che ec.
LEMMA III. Il centro di gravità d’una conoide parabolica divide l’asse in proporzione sesquialtera (fig. 13. tav. 1.)
Sia nella sezione ABC il triangulo ABC, il quale sarà analogo alla sezione, essendo che il cerchio fatto dal semidiametro DC, al cerchio fatto dal semidiametro EH sta come il quadrato di DC al quadrato d’EH, cioè per la parabola come DB a BE, оvverо9 DC a EK, ma il centro del triangolo ABC taglia in proporzione sesquialtera il suo asse BD, poichè si tagli pel mezzo la DA, e tirata FG paralella all’asse, si congiunga GC, ed essendo divisa DA pel mezzo, sarà divisa parimente anco AB: laonde GC sarà asse del triangolo, e in esso sarà il centro di gravità, ed è anco nell’asse BD, adunque sarà nel punto E dove i due assi s’intersegano, ed essendo CD doppia di DF, sarà anco CE doppia di EG; e dividendo GA, e tirando la OD parallela a GC si dimostrerà, che anco BE è doppia di ED, laonde anco il centro di gravità d’una conoide parabolica ec.