Teoria degli errori e fondamenti di statistica/C.4.3

C.4.3 La correlazione tra i coefficienti della retta

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C.4.3 La correlazione tra i coefficienti della retta
C.4.2 C.4.4

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C.4.3 La correlazione tra i coefficienti della retta

Notiamo anche che l’intercetta e la pendenza a e b della retta interpolante un insieme di punti sperimentali, essendo ottenute come combinazioni [p. 266 modifica]lineari delle stesse variabili casuali, sono tra loro correlate (come osservato nel paragrafo C.1); le equazioni (11.10) possono essere riscritte (l’abbiamo già visto nel paragrafo 11.4.1) come

e

una volta che si sia posto

Ricordando la definizione di , possiamo esprimerlo come

ed infine come

. (C.10)

Visto che le sono per ipotesi statisticamente indipendenti tra loro, possiamo applicare la (C.4); ne ricaviamo, sostituendovi la (C.10) e ricordando che gli errori sono tutti uguali, che

[p. 267 modifica]ed infine, vista la definizione di ,
; (C.11)

o anche

,

diversa da zero se ; inoltre il segno della correlazione tra e è opposto a quello di . Questo non sorprende: la retta interpolante deve necessariamente passare per il punto , come abbiamo notato nel paragrafo C.4.1: se è positivo, aumentando la pendenza della retta deve diminuire il valore della sua intercetta; e viceversa per .