Teoria degli errori e fondamenti di statistica/C.4.3

by Maurizio Loreti

C.4.3 La correlazione tra i coefficienti della retta

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Maurizio Loreti - Teoria degli errori e fondamenti di statistica (2006)

C.4.3 La correlazione tra i coefficienti della retta

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C.4.3 La correlazione tra i coefficienti della retta

Notiamo anche che l’intercetta e la pendenza a e b della retta interpolante un insieme di punti sperimentali, essendo ottenute come combinazioni lineari delle stesse variabili casuali, sono tra loro correlate (come osservato nel paragrafo C.1); le equazioni (11.10) possono essere riscritte (l’abbiamo già visto nel paragrafo 11.4.1) come

$a=\sum \nolimits _{i}a_{i}\,y_{i}$

e

$b=\sum \nolimits _{i}b_{i}\,y_{i}$

una volta che si sia posto

${\begin{cases}a_{i}=\displaystyle {\frac {1}{\Delta }}\,\left[\sum \nolimits _{j}{x_{j}}^{2}-\left(\sum \nolimits _{j}x_{j}\right)x_{i}\right]\\b_{i}=\displaystyle {\frac {1}{\Delta }}\left[N\,x_{i}-\sum \nolimits _{j}x_{j}\right]\end{cases}}$

Ricordando la definizione di $\Delta$, possiamo esprimerlo come

$\Delta$	$=N\left(\sum \nolimits _{j}{x_{j}}^{2}\right)-\left(\sum \nolimits _{j}x_{j}\right)^{2}$
	$=N^{2}\left[{\frac {\sum \nolimits _{j}{x_{j}}^{2}}{N}}-\left({\frac {\sum \nolimits _{j}x_{j}}{N}}\right)^{2}\right]$

ed infine come

$\Delta =N^{2}\,{\text{Var}}(x)$.

(C.10)

Visto che le $y_{i}$ sono per ipotesi statisticamente indipendenti tra loro, possiamo applicare la (C.4); ne ricaviamo, sostituendovi la (C.10) e ricordando che gli errori sono tutti uguali, che

${\text{Cov}}(a,b)$	$=\sum \nolimits _{i}a_{i}\,b_{i}\,{\text{Var}}(y_{i})$
	$={\frac {{\sigma _{y}}^{2}}{\Delta ^{2}}}\,\sum \nolimits _{i}\left[\sum \nolimits _{j}{x_{j}}^{2}-\left(\sum \nolimits _{j}x_{j}\right)x_{i}\right]\left[Nx_{i}-\sum \nolimits _{j}x_{j}\right]$
	$={\frac {{\sigma _{y}}^{2}}{\Delta ^{2}}}\,\sum \nolimits _{i}{\Biggl [}\left(\sum \nolimits _{j}{x_{j}}^{2}\right)Nx_{i}-\left(\sum \nolimits _{j}{x_{j}}^{2}\right)\left(\sum \nolimits _{j}x_{j}\right)-$
	$-\left(\sum \nolimits _{j}x_{j}\right)N{x_{i}}^{2}+\left(\sum \nolimits _{j}x_{j}\right)^{2}\!x_{i}{\Biggr ]}$
	$={\frac {{\sigma _{y}}^{2}}{\Delta ^{2}}}\,{\Biggl [}N\left(\sum \nolimits _{j}{x_{j}}^{2}\right)\left(\sum \nolimits _{i}x_{i}\right)-N\left(\sum \nolimits _{j}{x_{j}}^{2}\right)\left(\sum \nolimits _{j}x_{j}\right)-$
	$-N\left(\sum \nolimits _{j}x_{j}\right)\left(\sum \nolimits _{i}{x_{i}}^{2}\right)+\left(\sum \nolimits _{j}x_{j}\right)^{3}{\Biggr ]}$
	$={\frac {{\sigma _{y}}^{2}}{\Delta ^{2}}}\,\left(\sum \nolimits _{j}x_{j}\right)\,\left[\left(\sum \nolimits _{j}x_{j}\right)^{2}-N\left(\sum \nolimits _{j}{x_{j}}^{2}\right)\right]$

ed infine, vista la definizione di $\Delta$,

${\text{Cov}}(a,b)=-\,{\frac {\sum \nolimits _{j}x_{j}}{\Delta }}\,{\sigma _{y}}^{2}$;

(C.11)

o anche

${\text{Cov}}(a,b)=-\,{\frac {\bar {x}}{N}}\,{\frac {{\sigma _{y}}^{2}}{{\text{Var}}(x)}}$,

diversa da zero se ${\bar {x}}\neq 0$; inoltre il segno della correlazione tra $a$ e $b$ è opposto a quello di ${\bar {x}}$. Questo non sorprende: la retta interpolante deve necessariamente passare per il punto $({\bar {x}},{\bar {y}})$, come abbiamo notato nel paragrafo C.4.1: se ${\bar {x}}$ è positivo, aumentando la pendenza della retta deve diminuire il valore della sua intercetta; e viceversa per ${\bar {x}}<0$.