Teoria degli errori e fondamenti di statistica/C.4.4

by Maurizio Loreti

C.4.4 Stima puntuale mediante l'interpolazione lineare

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Maurizio Loreti - Teoria degli errori e fondamenti di statistica (2006)

C.4.4 Stima puntuale mediante l'interpolazione lineare

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C.4.4 Stima puntuale mediante l’interpolazione lineare

Bisogna tener presente che le formule dei minimi quadrati ci danno l’equazione della retta che meglio approssima la relazione tra le due variabili nella parte di piano in cui esistono punti misurati; ma non ci dicono nulla sulla dipendenza tra le variabili stesse in zone in cui non siano state effettuate delle osservazioni.

In altre parole, non si può mai escludere sulla base delle misure che la $y=f(x)$ sia una funzione comunque complessa ma approssimativamente lineare solamente nell’intervallo in cui abbiamo investigato; per questo motivo bisogna evitare per quanto possibile di usare l’equazione della retta interpolante per ricavare valori stimati ${\widehat {y}}$ della variabile indipendente (dalla ${\widehat {y}}=a+bx$) in corrispondenza di valori della $x$ non compresi nell’intorno delle misure, e questo tanto più rigorosamente quanto più $x$ è distante da tale intorno: non è lecito usare l'interpolazione per estrapolare su regioni lontane da quelle investigate.

A questo proposito, se lo scopo primario dell’interpolazione non è tanto quello di ottenere una stima di $a$ o $b$ quanto quello di ricavare il valore ${\widehat {y}}$ assunto dalla $y$ in corrispondenza di un particolare valore ${\widehat {x}}$ della variabile indipendente $x$, applicando la formula di propagazione degli errori (C.5) alla ${\widehat {y}}=a+b{\widehat {x}}$ ricaviamo:

${\text{Var}}({\widehat {y}})\;=\;{\text{Var}}(a)+{\widehat {x}}^{2}\,{\text{Var}}(b)+2\,{\widehat {x}}\,{\text{Cov}}(a,b)$.

Sostituendo nell’equazione precedente le espressioni (11.11) per le varianze di $a$ e $b$ e quella (C.11) della loro covarianza, si ha poi

${\text{Var}}({\widehat {y}})\;=\;{\frac {\sum \nolimits _{i}{x_{i}}^{2}}{\Delta }}\,{\sigma _{y}}^{2}+{\widehat {x}}^{2}\,{\frac {N}{\Delta }}\,{\sigma _{y}}^{2}-2\,{\widehat {x}}\,{\frac {\sum \nolimits _{i}x_{i}}{\Delta }}\,{\sigma _{y}}^{2}$

e, introducendo nell’equazione precedente sia l’espressione (C.10) per $\Delta$ che la

$\sum \nolimits _{i}{x_{i}}^{2}=N\,\left[{\text{Var}}(x)+{\bar {x}}^{2}\right]$

e la

$\sum \nolimits _{i}x_{i}=N{\bar {x}}$

otteniamo

${\text{Var}}({\widehat {y}})$	$={\frac {{\sigma _{y}}^{2}}{\Delta }}\,\left[\sum \nolimits _{i}{x_{i}}^{2}-2{\widehat {x}}\sum \nolimits _{i}x_{i}+N{\widehat {x}}^{2}\right]$
	$={\frac {{\sigma _{y}}^{2}}{N\,{\text{Var}}(x)}}\,\left[{\text{Var}}(x)+{\bar {x}}^{2}-2{\widehat {x}}{\bar {x}}+{\widehat {x}}^{2}\right]$

ed infine la

${\text{Var}}({\widehat {y}})={\frac {{\sigma _{y}}^{2}}{N}}\,\left[1+{\frac {\left({\widehat {x}}-{\bar {x}}\right)^{2}}{{\text{Var}}(x)}}\right]$.

(C.12)

Si vede immediatamente dalla (C.12) che l’errore sul valore stimato ${\widehat {y}}$ (che è funzione di ${\widehat {x}}$) è minimo quando ${\widehat {x}}={\bar {x}}$: quindi, per ricavare una stima della $y$ con il più piccolo errore casuale possibile, bisogna che il corrispondente valore della $x$ sia nel centro dell’intervallo in cui si sono effettuate le misure (questo in accordo con le considerazioni qualitative precedenti a riguardo di interpolazione ed estrapolazione).