Teoria degli errori e fondamenti di statistica/C.4.2

by Maurizio Loreti

C.4.2 Verifica di ipotesi sulla correlazione lineare

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Maurizio Loreti - Teoria degli errori e fondamenti di statistica (2006)

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C.4.2 Verifica di ipotesi sulla correlazione lineare

Non è pensabile di poter svolgere una teoria completa della correlazione in queste pagine; tuttavia talvolta un fisico si trova nella necessità di verificare delle ipotesi statistiche sul coefficiente di correlazione lineare ricavato sperimentalmente da un insieme di $N$ coppie di valori misurati $\{x_{i},y_{i}\}$. Nel seguito riassumiamo, senza darne alcuna dimostrazione, alcune proprietà di questi coefficienti:

• Se si vuole verificare che la correlazione tra $x$ ed $y$ sia significativamente differente da zero, si può calcolare il valore della variabile casuale

$t={\frac {r{\sqrt {N-2}}}{\sqrt {1-r^{2}}}}$

che è distribuita secondo Student con $(N-2)$ gradi di libertà, e controllare la sua compatibilità con lo zero.

• Rispetto al valore vero $\rho$ della correlazione lineare tra le due variabili, il valore $r$ ricavato da un insieme di $N$ coppie $\{x_{i},y_{i}\}$ estratte a caso dalle rispettive popolazioni è tale che la variabile casuale

$Z(r)=\ln {\sqrt {\frac {1+r}{1-r}}}={\frac {1}{2}}\left[\ln(1+r)-\ln(1-r)\right]$

(C.9)

(detta variabile di Fisher) segue una distribuzione approssimativamente normale con valore medio e varianza date da

$E(Z)=Z(\rho )$

e

${\text{Var}}(Z)=\sigma _{Z}^{2}={\frac {1}{N-3}}$

rispettivamente; la trasformazione inversa della (C.9) è la

$r={\frac {e^{2Z-1}}{e^{2Z+1}}}$.

Quindi:

— per verificare se il valore vero della correlazione può essere una quantità prefissata $\rho$, si controlla la compatibilità con la distribuzione normale $N(Z(\rho ),\sigma _{Z})$ del valore ottenuto $Z(r)$;

— per calcolare un intervallo di valori corrispondente ad un certo livello di confidenza, si usano i corrispondenti intervalli per la distribuzione normale con deviazione standard $\sigma _{Z}$;

— per verificare se due coefficienti di correlazione lineare $r_{1}$ ed $r_{2}$, ricavati da $N_{1}$ ed $N_{2}$ coppie di valori $\{x_{i},y_{i}\}$ rispettivamente, siano o meno significativamente differenti, si calcola la variabile casuale

$\delta ={\frac {Z_{1}-Z_{2}}{\sqrt {{\text{Var}}(Z_{1})+{\text{Var}}(Z_{2})}}}={\frac {Z_{1}-Z_{2}}{\sqrt {{\frac {1}{N_{1}-3}}+{\frac {1}{N_{2}-3}}}}}$

(ove $Z_{1}$ e $Z_{2}$ sono le variabili di Fisher ricavate dalla (C.9) per i due campioni; $\delta$ segue asintoticamente la distribuzione normale con media $E(Z_{1})-E(Z_{2})$ e varianza 1) e si verifica se il risultato ottenuto è compatibile con lo zero.