Teoria degli errori e fondamenti di statistica/8.2

8.2 La distribuzione normale

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8.2 La distribuzione normale

La funzione normale (o funzione di Gauss), che esamineremo poi in dettaglio nel prossimo capitolo mettendo l'accento sui suoi legami con le misure ripetute delle grandezze fisiche, è una funzione di frequenza per la x che dipende da due parametri e (con la condizione ) definita come


Figura 8c - L’andamento della funzione per la variabile normale standardizzata (ossia con media 0 e varianza 1).

.

L’andamento della funzione normale è quello delineato nella figura 8c: quando si ha un punto di massimo, nel quale la funzione ha il valore [p. 102 modifica]. La larghezza a metà altezza1 è pari all’ampiezza dell’intervallo che separa i due punti ed di ascissa e di ordinata : e vale quindi .

La funzione generatrice dei momenti è definita attraverso l’equazione (6.4) e, nel caso della distribuzione normale, abbiamo

=
.

Riconoscendo nell’argomento dell’integrale la funzione , ovverosia la funzione normale relativa ai parametri e , è immediato capire che esso vale 1 in conseguenza della condizione di normalizzazione; quindi la funzione generatrice dei momenti, per la distribuzione normale, è data da

(8.2)

e, con passaggi simili, si potrebbe trovare la funzione caratteristica della distribuzione normale: che vale

. (8.3)

Sfruttando la (8.2) è facile calcolare la speranza matematica della distribuzione normale:

;

la funzione generatrice dei momenti rispetto alla media vale allora

(8.4)

e dalla (8.4) si ricava poi la varianza della x,

.

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Vista la simmetria della funzione, tutti i suoi momenti di ordine dispari rispetto alla media sono nulli; mentre quelli di ordine pari soddisfano alla formula generale (valida per qualsiasi intero k)

(8.5)

con

.

Nel caso particolare di una variabile normale con valore medio e varianza (variabile normale standardizzata), la funzione generatrice dei momenti diventa

e la funzione caratteristica

.

Dimostriamo ora il seguente importante

Teorema: combinazioni lineari di variabili casuali normali e tutte statisticamente indipendenti tra loro sono ancora distribuite secondo la legge normale.

Siano N variabili normali (con ), e siano e i loro valori medi e le loro varianze rispettivamente; consideriamo poi la nuova variabile casuale y definita dalla

(ove le sono coefficienti costanti). La funzione caratteristica di ognuna delle è, dalla (8.3),

e quella della variabile ausiliaria , dall’equazione (6.17),

.

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Infine, la funzione caratteristica della y vale, essendo

e ricordando l’equazione (6.11), applicabile perché anche le sono indipendenti tra loro, otteniamo

=
=
=

ove si è posto

e .

Questa è appunto la funzione caratteristica di una nuova distribuzione normale; e, in virtù di uno dei teoremi enunciati nel paragrafo (6.4), quanto dimostrato prova la tesi.

Note

  1. In genere indicata con la sigla FWHM, acronimo di full width at half maximum; è un parametro talvolta usato nella pratica per caratterizzare una curva, perché facile da misurare su un oscilloscopio.