Teoria degli errori e fondamenti di statistica/6.5

6.5 Cambiamento di variabile casuale

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6.5 Cambiamento di variabile casuale

Supponiamo sia nota la funzione densità di probabilità della variabile casuale x; e sia y una nuova variabile casuale definita in funzione della x attraverso una qualche relazione matematica . Ci proponiamo di vedere come, da queste ipotesi, si possa ricavare la densità di probabilità della nuova variabile y.

Supponiamo dapprima che la corrispondenza tra le due variabili continue sia biunivoca: ossia che la sia una funzione monotona in senso stretto, crescente o decrescente, e di cui quindi esista la funzione inversa che indicheremo con ; ed inoltre supponiamo che la sia derivabile. Questo, dovendo risultare in conseguenza dell’ipotesi fatta, implica che sia derivabile anche la e che risulti

.

L’asserita biunivocità della corrispondenza tra le due variabili assicura che, se la prima e compresa in un intervallo infinitesimo di ampiezza dx centrato sul generico valore x, allora e solo allora la seconda è compresa in un intervallo di ampiezza (il valore assoluto tiene conto del fatto che la può essere sia crescente che decrescente) centrato attorno al valore . Questo a sua volta implica che le probabilità (infinitesime) degli eventi casuali consistenti nell’essere la x o la y appartenenti a tali intervalli debbano essere uguali: ossia che risulti

identicamente per ogni x, il che è possibile soltanto se

. (6.15)

Se la relazione che lega y ad x non è invece biunivoca, i ragionamenti sono più complicati e devono essere fatti tenendo conto della natura della particolare funzione in esame; ad esempio, se

e quindi

un particolare valore per la y corrisponde a due eventualità (mutuamente esclusive) per la x; perciò

[p. 78 modifica]e quindi

.

Per quello che riguarda la funzione generatrice dei momenti e la funzione caratteristica associate a variabili casuali definite l’una in funzione dell’altra, se ci limitiamo a considerare una trasformazione lineare del tipo , vale la

da cui infine ricaviamo la

(6.16)

per la funzione generatrice dei momenti; e potremmo ricavare l’analoga

(6.17)

per la funzione caratteristica (si confronti anche la funzione (6.5), prima usata per ricavare i momenti rispetto alla media, e che si può pensare ottenuta dalla (6.4) applicando alla variabile casuale una traslazione che ne porti il valore medio nell’origine).