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Capitolo 8 - Esempi di distribuzioni teoriche

${\widehat {y}}=(\sigma {\sqrt {2\pi }})^{-1}\approx 0.4/\sigma$. La larghezza a metà altezza¹ è pari all’ampiezza dell’intervallo che separa i due punti $x_{1}$ ed $x_{2}$ di ascissa $\mu \pm \sigma {\sqrt {2\ln 2}}$ e di ordinata $y_{1}=y_{2}={\widehat {y}}/2$: e vale quindi $2\sigma {\sqrt {2\ln 2}}\approx 2.35\sigma$.

La funzione generatrice dei momenti è definita attraverso l’equazione (6.4) e, nel caso della distribuzione normale, abbiamo

$M_{x}(t)$	= $\int _{-\infty }^{+\infty }\!e^{tx}{\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\,e^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{2}}\,\mathrm {d} x$
	$={\frac {e^{t\mu }}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\int _{-\infty }^{+\infty }\!e^{t(x-\mu )}e^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{2}}\,\mathrm {d} x$
	$={\frac {e^{t\mu }}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\int _{-\infty }^{+\infty }\!e^{\left[{\frac {\sigma ^{2}t^{2}}{2}}-{\frac {(x-\mu -\sigma ^{2}t)^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right]}\,\mathrm {d} x$
	$=e^{\left(t\mu +{\frac {\sigma ^{2}t^{2}}{2}}\right)}\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\,e^{-{\frac {1}{2}}{\bigl [}{\frac {x-(\mu +\sigma ^{2}t)}{\sigma }}{\bigr ]}^{2}}\,\mathrm {d} x$.

Riconoscendo nell’argomento dell’integrale la funzione $N(x;\mu +\sigma ^{2}t,\sigma )$, ovverosia la funzione normale relativa ai parametri $\mu +\sigma ^{2}t$ e $\sigma$, è immediato capire che esso vale 1 in conseguenza della condizione di normalizzazione; quindi la funzione generatrice dei momenti, per la distribuzione normale, è data da

$M_{x}(t)\;=\;e^{\left(t\mu +{\frac {\sigma ^{2}t^{2}}{2}}\right)}$

(8.2)

e, con passaggi simili, si potrebbe trovare la funzione caratteristica della distribuzione normale: che vale

$\phi _{x}(t)\;=\;e^{\left(it\mu -{\frac {\sigma ^{2}t^{2}}{2}}\right)}$.

(8.3)

Sfruttando la (8.2) è facile calcolare la speranza matematica della distribuzione normale:

$E(x)=\left.{\frac {\mathrm {d} \,M_{x}(t)}{\mathrm {d} t}}\right|_{t=0}\;=\;\mu$;

la funzione generatrice dei momenti rispetto alla media $\mu$ vale allora

${\overline {M}}_{x}(t)\;=\;e^{-t\mu }M_{x}(t)\;=\;e^{\frac {\sigma ^{2}t^{2}}{2}}$

(8.4)

e dalla (8.4) si ricava poi la varianza della x,

${\text{Var}}(x)=\left.{\frac {\mathrm {d} ^{2}{\overline {M}}_{x}(t)}{\mathrm {d} t^{2}}}\right|_{t=0}\;=\;\sigma ^{2}$.

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1. In genere indicata con la sigla FWHM, acronimo di full width at half maximum; è un parametro talvolta usato nella pratica per caratterizzare una curva, perché facile da misurare su un oscilloscopio.