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104 Capitolo 8 - Esempi di distribuzioni teoriche

Infine, la funzione caratteristica della y vale, essendo

e ricordando l’equazione (6.11), applicabile perché anche le sono indipendenti tra loro, otteniamo

=
=
=

ove si è posto

e .

Questa è appunto la funzione caratteristica di una nuova distribuzione normale; e, in virtù di uno dei teoremi enunciati nel paragrafo (6.4), quanto dimostrato prova la tesi.

8.3 La distribuzione di Cauchy

La distribuzione di Cauchy (o distribuzione di Breit-Wigner, nome con il quale è più nota nel mondo della fisica) è definita da una densità di probabilità che corrisponde alla funzione, dipendente da due parametri e d (con la condizione ),

. (8.6)

Anche se la (8.6) è integrabile, e la sua funzione integrale, ovverosia la funzione di distribuzione della x, vale