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Capitolo 8 - Esempi di distribuzioni teoriche

Infine, la funzione caratteristica della y vale, essendo

$y=\sum _{k=1}^{N}\xi _{k}$

e ricordando l’equazione (6.11), applicabile perché anche le $\xi _{k}$ sono indipendenti tra loro, otteniamo

$\phi _{y}(t)$	= $\prod _{k=1}^{N}\phi _{\xi _{k}}(t)$
	= $\prod _{k=1}^{N}e^{\left(ita_{k}\mu _{k}-{\frac {1}{2}}t^{2}{a_{k}}^{2}{\sigma _{k}}^{2}\right)}$
	= $e^{\left[it\left(\sum _{k}a_{k}\mu _{k}\right)-{\frac {1}{2}}t^{2}\left(\sum _{k}{a_{k}}^{2}{\sigma _{k}}^{2}\right)\right]}$
	$=e^{\left(it\mu -{\frac {t^{2}\sigma ^{2}}{2}}\right)}$

ove si è posto

$\mu =\sum _{k=1}^{N}a_{k}\,\mu _{k}$

e

$\sigma ^{2}=\sum _{k=1}^{N}{a_{k}}^{2}{\sigma _{k}}^{2}$.

Questa è appunto la funzione caratteristica di una nuova distribuzione normale; e, in virtù di uno dei teoremi enunciati nel paragrafo (6.4), quanto dimostrato prova la tesi.

8.3 La distribuzione di Cauchy

La distribuzione di Cauchy (o distribuzione di Breit-Wigner, nome con il quale è più nota nel mondo della fisica) è definita da una densità di probabilità che corrisponde alla funzione, dipendente da due parametri $\theta$ e d (con la condizione $d>0$),

$f(x;\theta ,d)\;=\;{\frac {1}{\pi d}}\,{\frac {1}{1+\left({\frac {x-\theta }{d}}\right)^{2}}}$.

(8.6)

Anche se la (8.6) è integrabile, e la sua funzione integrale, ovverosia la funzione di distribuzione della x, vale

$F(x;\theta ,d)\;=\;\int _{-\infty }^{x}\!f(t)\,\mathrm {d} t={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\pi }}\arctan \left({\frac {x-\theta }{d}}\right)$