Teoria degli errori e fondamenti di statistica/5.6.1

by Maurizio Loreti

5.6.1 La disuguaglianza di Bienaymé-Čhebyšef

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Maurizio Loreti - Teoria degli errori e fondamenti di statistica (2006)

5.6.1 La disuguaglianza di Bienaymé-Čhebyšef

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5.6.1 La disuguaglianza di Bienaymé-Čebyšef

Sia una variabile casuale $x$, e siano $E(x)$ e $\sigma ^{2}$ la speranza matematica e la varianza della sua popolazione; vogliamo ora determinare la probabilità che un valore di $x$ scelto a caso differisca (in valore assoluto) da $E(x)$ per più di una assegnata quantità (positiva) $\epsilon$. Questa è ovviamente data, in base alla legge della probabilità totale (3.2), dalla

$\Pr {\Bigl (}{\bigl \vert }x-E(x){\bigr \vert }\geq \epsilon {\Bigl )}=\sum _{\vert x_{i}-E(x)\vert \geq \epsilon }p_{i}$

dove la sommatoria è estesa solo a quei valori $x_{i}$ che soddisfano a tale condizione. Ora, sappiamo che

$\sigma ^{2}=E\left\{{\bigl [}x-E(x){\bigr ]}^{2}\right\}=\sum \nolimits _{i}p_{i}{\bigl [}x_{i}-E(x){\bigr ]}^{2};$

se si restringe la sommatoria ai soli termini $x_{i}$ che differiscono (in modulo) da $E(x)$ per più di $\epsilon$, il suo valore diminuirà o, al massimo, rimarrà invariato: deve risultare insomma

$\sigma ^{2}\geq \sum _{\vert x_{i}-E(x)\vert \geq \epsilon }p_{i}{\bigl [}x_{i}-E(x){\bigr ]}^{2}\geq \sum _{\vert x_{i}-E(x)\vert \geq \epsilon }p_{i}\epsilon ^{2}=\epsilon ^{2}\sum _{\vert x_{i}-E(x)\vert \geq \epsilon }p_{i}$

e da questa relazione si ottiene la disuguaglianza di Bienaymé-Čebyšef¹

$\Pr {\Bigl (}{\bigl \vert }x-E(x){\bigr \vert }\geq \epsilon {\Bigr )}\leq {\frac {\sigma ^{2}}{\epsilon ^{2}}}$

(5.7)

e, se si pone $\epsilon =k\sigma$,

$\Pr {\Bigl (}{\bigl \vert }x-E(x){\bigr \vert }\geq k\sigma {\Bigr )}\leq {\frac {1}{k^{2}}}$}}

(5.8)

(se nella dimostrazione si sostituissero le frequenze relative alle probabilità e la media aritmetica ad $E(x)$, si troverebbe che una analoga relazione vale anche per ogni campione di valori sperimentali $x_{i}$ rispetto alla media aritmetica ${\bar {x}}$ ed alla varianza del campione $s^{2}$).

La (5.8) fissa un limite superiore per la probabilità esaminata, limite che deve valere per qualsiasi variabile casuale; con $k\leq 1$ non si ottiene alcuna informazione significativa da essa, ma con $k>1$ si vede che il maggiorante della probabilità tende a zero allʼaumentare di $k$. In particolare, per qualsiasi variabile casuale la probabilità di uno scarto dal valore medio non inferiore in valore assoluto a $2\sigma$ non può superare $\textstyle {\frac {1}{4}}=25\%$; e quella di uno scarto non inferiore in valore assoluto a $3\sigma$ non può superare $\textstyle {\frac {1}{9}}\approx 11.1\%$.

Si deve notare che non si è fatta alcuna ipotesi sulla distribuzione, a parte l’esistenza della sua varianza $\sigma ^{2}$ e della sua speranza matematica $E(x)$; in termini così generali il limite superiore (5.8) non può essere ridotto, ma non è escluso che (per una particolare distribuzione) la probabilità per la variabile da essa descritta di differire dal suo valore medio sia più piccola ancora di quella fissata dalla disuguaglianza di Bienaymé-Čebyšef. Ad esempio, se esiste finita la quantità

$\mu _{4}=E\left\{{\bigl [}x-E(x){\bigr ]}^{4}\right\}$

(momento del quarto ordine rispetto alla media), con passaggi analoghi si troverebbe che

$\Pr \left\{{\bigl [}x-E(x){\bigr ]}^{4}\geq \epsilon \right\}\leq {\frac {\mu _{4}}{\epsilon ^{4}}}$

e, quindi, che

$\Pr \left\{{\bigl [}x-E(x){\bigr ]}^{4}\geq k\sigma \right\}\leq {\frac {\mu _{4}}{k^{4}\sigma ^{4}}}.$

Imponendo altre condizioni (anche non molto restrittive) alla distribuzione di probabilità, si potrebbe ridurre ulteriormente (in quantità anche notevole) il limite superiore stabilito in generale dalla (5.8); e stimare così anche la probabilità di uno scarto della variabile casuale dal suo valore medio inferiore a $\sigma$. Risale ad esempio a Gauss (1821) la dimostrazione che per una variabile continua avente distribuzione unimodale (con massimo in $x_{0}$), e per la quale esista finita la quantità ${\sigma _{0}}^{2}=E{\bigl [}(x-x_{0})^{2}{\bigr ]}$, la probabilità di uno scarto dalla moda $x_{0}$ non inferiore in valore assoluto ad una quantità prefissata non può superare la frazione $\textstyle {\frac {4}{9}}$ del limite di Bienaymé-Čebyšef:

$\Pr {\Bigl \{}\left\vert x-x_{0}\right\vert \geq k\sigma {\Bigr \}}\leq {\frac {4}{9k^{2}}}$.

Se la distribuzione è anche simmetrica, moda e media coincidono entrambe col centro di simmetria; e $\sigma _{0}$ è uguale alla deviazione standard $\sigma$. Per distribuzioni di questo genere, quindi, il limite superiore per la probabilità di uno scarto che non sia inferiore a $k$ volte lʼerrore quadratico medio scende a $\textstyle {\frac {4}{9}}\approx 44.4\%$ per $k=1$; a $\textstyle {\frac {1}{9}}\approx 11.1\%$ per $k=2$; ed a $\textstyle {\frac {4}{81}}\approx 4.9\%$ per $k=3$ (e vedremo poi nel paragrafo 9.3 che per le misure affette da errori puramente casuali i limiti superiori sono ancora più stringenti di questi).

Note

1. Irénée-Jules Bienaymé, francese, fu un matematico e statistico vissuto dal 1796 al 1878; Pafnuty Lvovič Čebyšef, matematico russo vissuto dal 1821 al 1894, si occupò di analisi, teoria dei numeri, probabilità, meccanica razionale e topologia.