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5.6 - La legge dei grandi numeri

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5.6 La legge dei grandi numeri

Le relazioni (5.3) e (5.6) sono state dimostrate sulla base della definizione di speranza matematica, e senza presupporre la convergenza verso di essa della media dei campioni (né quella delle frequenze verso la probabilità); vediamo ora come la legge dei grandi numeri (cui abbiamo già accennato nel paragrafo 3.5) si possa da esse dedurre.

5.6.1 La disuguaglianza di Bienaymé-Čebyšef

Sia una variabile casuale $x$, e siano $E(x)$ e $\sigma ^{2}$ la speranza matematica e la varianza della sua popolazione; vogliamo ora determinare la probabilità che un valore di $x$ scelto a caso differisca (in valore assoluto) da $E(x)$ per più di una assegnata quantità (positiva) $\epsilon$. Questa è ovviamente data, in base alla legge della probabilità totale (3.2), dalla

$\Pr {\Bigl (}{\bigl \vert }x-E(x){\bigr \vert }\geq \epsilon {\Bigl )}=\sum _{\vert x_{i}-E(x)\vert \geq \epsilon }p_{i}$

dove la sommatoria è estesa solo a quei valori $x_{i}$ che soddisfano a tale condizione. Ora, sappiamo che

$\sigma ^{2}=E\left\{{\bigl [}x-E(x){\bigr ]}^{2}\right\}=\sum \nolimits _{i}p_{i}{\bigl [}x_{i}-E(x){\bigr ]}^{2};$

se si restringe la sommatoria ai soli termini $x_{i}$ che differiscono (in modulo) da $E(x)$ per più di $\epsilon$, il suo valore diminuirà o, al massimo, rimarrà invariato: deve risultare insomma

$\sigma ^{2}\geq \sum _{\vert x_{i}-E(x)\vert \geq \epsilon }p_{i}{\bigl [}x_{i}-E(x){\bigr ]}^{2}\geq \sum _{\vert x_{i}-E(x)\vert \geq \epsilon }p_{i}\epsilon ^{2}=\epsilon ^{2}\sum _{\vert x_{i}-E(x)\vert \geq \epsilon }p_{i}$

e da questa relazione si ottiene la disuguaglianza di Bienaymé-Čebyšef¹

$\Pr {\Bigl (}{\bigl \vert }x-E(x){\bigr \vert }\geq \epsilon {\Bigr )}\leq {\frac {\sigma ^{2}}{\epsilon ^{2}}}$

(5.7)

e, se si pone $\epsilon =k\sigma$,

$\Pr {\Bigl (}{\bigl \vert }x-E(x){\bigr \vert }\geq k\sigma {\Bigr )}\leq {\frac {1}{k^{2}}}$}}

(5.8)

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1. Irénée-Jules Bienaymé, francese, fu un matematico e statistico vissuto dal 1796 al 1878; Pafnuty Lvovič Čebyšef, matematico russo vissuto dal 1821 al 1894, si occupò di analisi, teoria dei numeri, probabilità, meccanica razionale e topologia.