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Capitolo 5 - Variabili casuali unidimensionali discrete

(se nella dimostrazione si sostituissero le frequenze relative alle probabilità e la media aritmetica ad $E(x)$, si troverebbe che una analoga relazione vale anche per ogni campione di valori sperimentali $x_{i}$ rispetto alla media aritmetica ${\bar {x}}$ ed alla varianza del campione $s^{2}$).

La (5.8) fissa un limite superiore per la probabilità esaminata, limite che deve valere per qualsiasi variabile casuale; con $k\leq 1$ non si ottiene alcuna informazione significativa da essa, ma con $k>1$ si vede che il maggiorante della probabilità tende a zero allʼaumentare di $k$. In particolare, per qualsiasi variabile casuale la probabilità di uno scarto dal valore medio non inferiore in valore assoluto a $2\sigma$ non può superare $\textstyle {\frac {1}{4}}=25\%$; e quella di uno scarto non inferiore in valore assoluto a $3\sigma$ non può superare $\textstyle {\frac {1}{9}}\approx 11.1\%$.

Si deve notare che non si è fatta alcuna ipotesi sulla distribuzione, a parte l’esistenza della sua varianza $\sigma ^{2}$ e della sua speranza matematica $E(x)$; in termini così generali il limite superiore (5.8) non può essere ridotto, ma non è escluso che (per una particolare distribuzione) la probabilità per la variabile da essa descritta di differire dal suo valore medio sia più piccola ancora di quella fissata dalla disuguaglianza di Bienaymé-Čebyšef. Ad esempio, se esiste finita la quantità

$\mu _{4}=E\left\{{\bigl [}x-E(x){\bigr ]}^{4}\right\}$

(momento del quarto ordine rispetto alla media), con passaggi analoghi si troverebbe che

$\Pr \left\{{\bigl [}x-E(x){\bigr ]}^{4}\geq \epsilon \right\}\leq {\frac {\mu _{4}}{\epsilon ^{4}}}$

e, quindi, che

$\Pr \left\{{\bigl [}x-E(x){\bigr ]}^{4}\geq k\sigma \right\}\leq {\frac {\mu _{4}}{k^{4}\sigma ^{4}}}.$

Imponendo altre condizioni (anche non molto restrittive) alla distribuzione di probabilità, si potrebbe ridurre ulteriormente (in quantità anche notevole) il limite superiore stabilito in generale dalla (5.8); e stimare così anche la probabilità di uno scarto della variabile casuale dal suo valore medio inferiore a $\sigma$. Risale ad esempio a Gauss (1821) la dimostrazione che per una variabile continua avente distribuzione unimodale (con massimo in $x_{0}$), e per la quale esista finita la quantità ${\sigma _{0}}^{2}=E{\bigl [}(x-x_{0})^{2}{\bigr ]}$, la probabilità di uno scarto dalla moda $x_{0}$ non inferiore in valore assoluto ad una quantità prefissata non può superare la frazione $\textstyle {\frac {4}{9}}$ del limite di Bienaymé-Čebyšef:

$\Pr {\Bigl \{}\left\vert x-x_{0}\right\vert \geq k\sigma {\Bigr \}}\leq {\frac {4}{9k^{2}}}$.