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5.6 - La legge dei grandi numeri

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Se la distribuzione è anche simmetrica, moda e media coincidono entrambe col centro di simmetria; e $\sigma _{0}$ è uguale alla deviazione standard $\sigma$. Per distribuzioni di questo genere, quindi, il limite superiore per la probabilità di uno scarto che non sia inferiore a $k$ volte lʼerrore quadratico medio scende a $\textstyle {\frac {4}{9}}\approx 44.4\%$ per $k=1$; a $\textstyle {\frac {1}{9}}\approx 11.1\%$ per $k=2$; ed a $\textstyle {\frac {4}{81}}\approx 4.9\%$ per $k=3$ (e vedremo poi nel paragrafo 9.3 che per le misure affette da errori puramente casuali i limiti superiori sono ancora più stringenti di questi).

5.6.2 II teorema di Čebyšef

Adesso applichiamo la (5.7) alla variabile casuale ${\bar {x}}$, media aritmetica di un campione di dimensione $N$ di valori che supponiamo essere statisticamente indipendenti:

$\Pr {\Bigl (}{\bigl \vert }{\bar {x}}-E({\bar {x}}){\bigr \vert }\geq \epsilon {\Bigr )}\leq {\frac {{\sigma _{\bar {x}}}^{2}}{\epsilon ^{2}}};$

(5.9)

ma valendo, per questa variabile casuale, le

$E({\bar {x}})=E(x)$,

e

$\mathrm {Var} \left({\bar {x}}\right)={\frac {\sigma ^{2}}{N}},$

sostituendo nella (5.9) otteniamo

$\Pr {\Bigl (}{\bigl \vert }{\bar {x}}-E(x){\bigr \vert }\geq \epsilon {\Bigr )}\leq {\frac {\sigma ^{2}}{N\epsilon ^{2}}}$.

(5.10)

Ora, scelti comunque due numeri positivi $\epsilon$ e $\delta$, si può trovare in conseguenza un valore di $N$ per cui il secondo membro della (5.10) risulti sicuramente minore di $\delta$: basta prendere $N>M=\lceil \sigma ^{2}/(\delta \epsilon ^{2})\rceil$. In base alla definizione (3.8), questo significa che vale il

Teorema (di Čebyšef): il valore medio di un campione finito di valori di una variabile casuale qualunque converge statisticamente, allʼaumentare della dimensione del campione, alla speranza matematica per quella variabile.

5.6.3 Il teorema di Bernoulli

Sia un qualsiasi evento casuale $E$ avente probabilità $p$ di verificarsi; indichiamo con $q=1-p$ la probabilità del non verificarsi di $E$ (cioè la probabilità dellʼevento complementare ${\bar {E}}$).

Consideriamo poi un insieme di $N$ prove nelle quali si osserva se $E$ si è o no verificato; ed introduciamo una variabile casuale $y$, definita come il