Teoria degli errori e fondamenti di statistica/3.3.2

3.3.2 Probabilità totale

../3.3.1 ../3.3.3 IncludiIntestazione 17 aprile 2022 100% Da definire

3.3.1 3.3.3

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3.3.2 Probabilità totale

Il risultato di una prova o esperimento più complesso può essere costituito dal verificarsi di due eventi simultanei in luogo di uno solo; come esempio, si consideri il lancio di una moneta e l’estrazione contemporanea di una carta da un mazzo. Se indica l’apparizione della testa ( allora sarà l’apparizione della croce) ed l’estrazione di una carta nera ( di una carta rossa), esistono quattro eventi fondamentali non ulteriormente decomponibili e che si escludono vicendevolmente: , , e .

Il simbolo indica qui l’evento composto prodotto logico dei due eventi semplici ed , cioè quello consistente nel verificarsi sia dell’uno che dell’altro. Se ora, su prove effettuate, la frequenza assoluta con cui i quattro eventi fondamentali si sono verificati è quella indicata nella seguente tabella:

le rispettive frequenze relative saranno

.
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Facendo uso della definizione empirica di probabilità si trova, partendo dalle seguenti identità:



che devono valere


ed altre due simili per e .

Se ora si applica la definizione empirica all’evento complesso somma logica degli eventi semplici ed , definito come lʼevento casuale consistente nel verificarsi o dell’uno o dell’altro di essi o di entrambi, otteniamo

da cui, passando al limite,

Nel caso particolare di due eventi ed che si escludano mutuamente (cioè per cui sia ed ), vale la cosiddetta legge della probabilità totale:


Questa si generalizza poi per induzione completa al caso di più eventi (sempre però mutuamente esclusivi), per la cui somma logica la probabilità è uguale alla somma delle probabilità degli eventi semplici:

. (3.2)