Teoria degli errori e fondamenti di statistica/3.3.2

by Maurizio Loreti

3.3.2 Probabilità totale

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Maurizio Loreti - Teoria degli errori e fondamenti di statistica (2006)

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3.3.2 Probabilità totale

Il risultato di una prova o esperimento più complesso può essere costituito dal verificarsi di due eventi simultanei in luogo di uno solo; come esempio, si consideri il lancio di una moneta e l’estrazione contemporanea di una carta da un mazzo. Se $E$ indica l’apparizione della testa (${\bar {E}}$ allora sarà l’apparizione della croce) ed $F$ l’estrazione di una carta nera (${\bar {E}}$ di una carta rossa), esistono quattro eventi fondamentali non ulteriormente decomponibili e che si escludono vicendevolmente: $~EF$, $E{\bar {F}}$, ${\bar {E}}F$ e ${\bar {E}}{\bar {F}}$.

Il simbolo $EF$ indica qui l’evento composto prodotto logico dei due eventi semplici $E$ ed $F$, cioè quello consistente nel verificarsi sia dell’uno che dell’altro. Se ora, su $N$ prove effettuate, la frequenza assoluta con cui i quattro eventi fondamentali si sono verificati è quella indicata nella seguente tabella:

	$~F~$	$~{\bar {F}}~$
$~E~$	$n_{11}$	$n_{12}$
$~{\bar {E}}~$	$n_{21}$	$n_{22}$

le rispettive frequenze relative saranno

$f\left(EF\right)={\frac {n_{11}}{N}}$	$f\left(E{\bar {F}}\right)={\frac {n_{12}}{N}}$
$f\left({\bar {E}}F\right)={\frac {n_{21}}{N}}$	$f\left({\bar {E}}{\bar {F}}\right)={\frac {n_{22}}{N}}$.

Facendo uso della definizione empirica di probabilità si trova, partendo dalle seguenti identità:

$f(E)={\frac {n_{11}+n_{12}}{N}}=f(EF)+f\left(E{\bar {F}}\right),$

$f(F)={\frac {n_{11}+n_{21}}{N}}=f(EF)+f\left({\bar {E}}F\right),$

che devono valere

$p(E)=p(EF)+p\left(E{\bar {F}}\right),$

$p(F)=p(EF)+p\left({\bar {E}}F\right),$

ed altre due simili per ${\bar {E}}$ e ${\bar {F}}$.

Se ora si applica la definizione empirica all’evento complesso $E+F$ somma logica degli eventi semplici $E$ ed $F$, definito come lʼevento casuale consistente nel verificarsi o dell’uno o dell’altro di essi o di entrambi, otteniamo

$~f(E+F)$	$=$	${\frac {n_{11}+n_{12}+n_{21}}{N}}$
	$=$	${\frac {(n_{11}+n_{12})+(n_{11}+n_{21})-n_{11}}{N}}$
	$=$	$f(E)+f(F)-f(EF)~$

da cui, passando al limite,

$p(E+F)=p(E)+p(F)-p(EF).$

Nel caso particolare di due eventi $E$ ed $F$ che si escludano mutuamente (cioè per cui sia $p(EF)=0$ ed $n_{11}\equiv 0$), vale la cosiddetta legge della probabilità totale:

$p(E+F)=p(E)+p(F)$

Questa si generalizza poi per induzione completa al caso di più eventi (sempre però mutuamente esclusivi), per la cui somma logica la probabilità è uguale alla somma delle probabilità degli eventi semplici:

$~p(A+B+\cdots +Z)=p(A)+p(B)+\cdots +p(Z)$.

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