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Capitolo 13 - La verifica delle ipotesi (II)

con $F(t;N)$ la densità di probabilità della distribuzione del $\chi ^{2}$ a $N$ gradi di libertà, avremo

$P_{I}\;=\;\alpha \;=\;\int _{0}^{k}g(\lambda |H_{0})\,\mathrm {d} \lambda \;=\;\int _{-2\ln k}^{+\infty }F(t;1)\,\mathrm {d} t$

della quale ci possiamo servire per ricavare $k$ se vogliamo che la significanza del test abbia un certo valore: ad esempio un livello di confidenza del 95% corrisponde ad $\alpha =0.05$ e, dalle tabelle della distribuzione del $\chi ^{2}$, ricaviamo

$-2\ln k=3.84$

e quindi

$c=1.96{\frac {\sigma }{\sqrt {N}}}$.

Anche senza dover ricorrere al teorema sul comportamento asintotico di $-2\ln \lambda$, allo stesso risultato si può pervenire per altra via: in questo caso si conosce infatti esattamente $\alpha$, che vale

$P_{I}\;=\;\alpha \;=\;\Pr {\Bigl (}|{\bar {x}}|>c{\bigl |}H_{0}{\bigr .}{\Bigr )}\;=\;2\int _{c}^{+\infty }\!N\left(t;0,{\frac {\sigma }{\sqrt {N}}}\right)\,\mathrm {d} t$

e, dalle tabelle della distribuzione normale standardizzata, si ricava che un'area two-tailed del 5% corrisponde ad un valore assoluto dello scarto normalizzato $t_{0}=1.96$; per cui, ancora, si ricaverebbe $|{\bar {x}}|>1.96(\sigma /{\sqrt {N}})$ come test per un livello di confidenza del 95%.

13.5 Applicazione: ipotesi sulle probabilità

Nel paragrafo 11.5 abbiamo preso in considerazione il caso di un evento casuale che si può manifestare in un numero finito $M$ di modalità, aventi ognuna probabilità incognita $p_{i}$; la stima di massima verosimiglianza delle $p_{i}$ è data dal rapporto tra la frequenza assoluta di ogni modalità, $n_{i}$, ed il numero totale di prove, $N$.

Vogliamo ora applicare il metodo del rapporto delle massime verosimiglianze per discriminare, sulla base di un campione di determinazioni indipendenti, l'ipotesi nulla che le probabilità abbiano valori noti a priori e l'ipotesi alternativa complementare, $H_{a}\equiv {\hat {H}}_{0}$:

${\begin{cases}H_{0}\equiv \left\{p_{i}=\pi _{i}\right\}&(\forall i\in \{1,2,\ldots ,M\})\\H_{a}\equiv \left\{p_{i}\neq \pi _{i}\right\}&(\exists i\in \{1,2,\ldots ,M\})\end{cases}}$

Ricordiamo che la funzione di verosimiglianza, a meno di un fattore moltiplicativo costante, è data da

${\mathcal {L}}({\boldsymbol {n}};{\boldsymbol {p}})=\prod _{i=1}^{M}{p_{i}}^{n_{i}}$