Teoria degli errori e fondamenti di statistica/13.3

by Maurizio Loreti

13.3 Tests di massima potenza uniforme

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Maurizio Loreti - Teoria degli errori e fondamenti di statistica (2006)

13.3 Tests di massima potenza uniforme

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13.3 Tests di massima potenza uniforme

Consideriamo ora un esempio del tipo di quello del paragrafo 13.1; e sia sempre disponibile un campione di $N$ misure indipendenti derivante da una popolazione normale di varianza nota. Assumiamo ancora come ipotesi nulla quella che la popolazione abbia un certo valore medio, che supponiamo essere 0, ma sostituiamo alla vecchia ipotesi alternativa $H_{a}$ una nuova ipotesi composta; ovvero quella che il valore medio della popolazione sia positivo:

${\begin{cases}x\sim N(x;\mu ,\sigma )\\H_{0}\equiv \{\mu =0\}\\H_{a}\equiv \{\mu >0\}\\\end{cases}}$

(con $\sigma >0$ noto)

(l’ipotesi alternativa è dunque somma logica di infinite ipotesi semplici del tipo $\mu =\mu _{a}$ con $\mu _{a}>0$).

Dalla (13.1) ricaviamo immediatamente le

${\mathcal {L}}({\boldsymbol {x}};0,\sigma )\;=\;-N\,\ln {\bigl (}\sigma {\sqrt {2\pi }}{\bigr )}-{\frac {1}{2\sigma ^{2}}}\sum _{i=1}^{N}{x_{i}}^{2}$

e

${\mathcal {L}}({\boldsymbol {x}};\mu _{a},\sigma )\;=\;-N\,\ln {\bigl (}\sigma {\sqrt {2\pi }}{\bigr )}-{\frac {1}{2\sigma ^{2}}}\left(\sum _{i=1}^{N}{x_{i}}^{2}-2N{\bar {x}}\mu _{a}+N{\mu _{a}}^{2}\right)$

(sempre con $\mu _{a}>0$); e, sostituendole nella (13.4), che definisce la generica regione di rigetto ${\mathcal {R}}_{k}$, otteniamo

$\ln \lambda \;=\;\ln {\mathcal {L}}({\boldsymbol {x}};0,\sigma )-{\mathcal {L}}({\boldsymbol {x}};\mu _{a},\sigma )\;=\;{\frac {N\mu _{a}}{2\sigma ^{2}}}\left(\mu _{a}-2{\bar {x}}\right)\;<\;\ln k$

equivalente alla

${\mathcal {R}}_{k}\;\equiv \;\left\{\;{\bar {x}}>{\frac {N{\mu _{a}}^{2}-2\sigma ^{2}\ln k}{2N\mu _{a}}}=c\;\right\}$.

Si rigetta quindi $H_{0}$ se la media aritmetica del campione è superiore a $c$ e la si accetta altrimenti: la probabilità di commettere errori di prima specie vale

$P_{I}\;=\;1-\alpha \;=\;\int _{c}^{+\infty }N\left(x;0,{\frac {\sigma }{\sqrt {N}}}\right)\,\mathrm {d} x$

ed è ben definita; ma, al contrario, la probabilità di commettere errori di seconda specie dipende dal particolare valore di $\mu _{a}$, e non può quindi essere calcolata.

Se interessa solo contenere gli errori di prima specie e la dimensione del campione è nota, si fissa $\alpha$ e si ricava il corrispondente valore di $c$ dall'equazione precedente; altrimenti occorre fare delle ulteriori ipotesi sulla funzione di frequenza dei differenti valori di $\mu _{a}$, e, ad esempio, calcolare la probabilità degli errori di seconda specie con tecniche di Montecarlo.

In ogni caso, però, osserviamo che la regione di rigetto è sempre dello stesso tipo (13.4) per qualsiasi $\mu _{a}>0$; e quindi un confronto separato tra $H_{0}$ ed ognuna delle differenti ipotesi semplici che costituiscono $H_{a}$ è comunque del tipo per cui il lemma di Neyman-Pearson garantisce la massima potenza.

Tests di questo tipo, per i quali la significanza è costante e la potenza è massima per ognuno dei casi semplici che costituiscono l'ipotesi alternativa, si dicono “tests di massima potenza uniforme”.