Teoria degli errori e fondamenti di statistica/13.3

13.3 Tests di massima potenza uniforme

../13.2 ../13.4 IncludiIntestazione 2 settembre 2022 100% Da definire

13.2 13.4

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13.3 Tests di massima potenza uniforme

Consideriamo ora un esempio del tipo di quello del paragrafo 13.1; e sia sempre disponibile un campione di misure indipendenti derivante da una popolazione normale di varianza nota. Assumiamo ancora come ipotesi nulla quella che la popolazione abbia un certo valore medio, che supponiamo essere 0, ma sostituiamo alla vecchia ipotesi alternativa una nuova ipotesi composta; ovvero quella che il valore medio della popolazione sia positivo:

(con noto)

(l’ipotesi alternativa è dunque somma logica di infinite ipotesi semplici del tipo con ).

Dalla (13.1) ricaviamo immediatamente le

e

[p. 235 modifica](sempre con ); e, sostituendole nella (13.4), che definisce la generica regione di rigetto , otteniamo

equivalente alla

.

Si rigetta quindi se la media aritmetica del campione è superiore a e la si accetta altrimenti: la probabilità di commettere errori di prima specie vale

ed è ben definita; ma, al contrario, la probabilità di commettere errori di seconda specie dipende dal particolare valore di , e non può quindi essere calcolata.

Se interessa solo contenere gli errori di prima specie e la dimensione del campione è nota, si fissa e si ricava il corrispondente valore di dall'equazione precedente; altrimenti occorre fare delle ulteriori ipotesi sulla funzione di frequenza dei differenti valori di , e, ad esempio, calcolare la probabilità degli errori di seconda specie con tecniche di Montecarlo.

In ogni caso, però, osserviamo che la regione di rigetto è sempre dello stesso tipo (13.4) per qualsiasi ; e quindi un confronto separato tra ed ognuna delle differenti ipotesi semplici che costituiscono è comunque del tipo per cui il lemma di Neyman-Pearson garantisce la massima potenza.

Tests di questo tipo, per i quali la significanza è costante e la potenza è massima per ognuno dei casi semplici che costituiscono l'ipotesi alternativa, si dicono “tests di massima potenza uniforme”.