Teoria degli errori e fondamenti di statistica/13.2

13.2 Il lemma di Neyman-Pearson

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13.2 Il lemma di Neyman-Pearson

L’essere ricorsi per la definizione della regione di rigetto al calcolo del rapporto delle funzioni di verosimiglianza non è stato casuale; esiste infatti un teorema (il cosiddetto lemma di Neyman— Pearson) il quale afferma che

Se si ha a disposizione un campione di N valori indipendenti da utilizzare per discriminare tra un’ipotesi nulla ed un’ipotesi alternativa entrambe semplici, e se è richiesto un livello fisso di significanza, la massima potenza del test (ovvero la minima probabilità di errori di seconda specie) si raggiunge definendo la regione di rigetto attraverso una relazione del tipo
. (13.4)

Infatti, indicando con la densità di probabilità della variabile (che supponiamo dipenda da un solo parametro ), siano e le due ipotesi (semplici) tra cui decidere; la funzione di verosimiglianza vale, come sappiamo,

.

Indichiamo con l’insieme di tutte le regioni per le quali risulti

(13.5)
[p. 233 modifica]con costante prefissata (nella (13.5) abbiamo sinteticamente indicato con il prodotto ). Vogliamo trovare quale di queste regioni rende massima

.

Ora, per una qualsiasi regione , valgono sia la

che la

;

e quindi, per una qualsiasi funzione , risulta sia

che

e, sottraendo membro a membro,

(13.6)

Applicando la (13.6) alla funzione otteniamo:

; (13.7)

ma, nel primo integrale del secondo membro, essendo la regione di integrazione contenuta in , deve valere la (13.4); e quindi risultare ovunque

mentre, per lo stesso motivo, nel secondo integrale

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e quindi la (13.7) implica che

.

Ricordando la (13.6),

e, se e quindi soddisfa anch’essa alla (13.5),

che era la nostra tesi.