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Capitolo 13 - La verifica delle ipotesi (II)

e quindi la (13.7) implica che

$\int _{{\mathcal {R}}_{k}}{\mathcal {L}}({\boldsymbol {x}}|\theta _{a})\,\mathrm {d} {\boldsymbol {x}}-\int _{\mathcal {R}}{\mathcal {L}}({\boldsymbol {x}}|\theta _{a})\,\mathrm {d} {\boldsymbol {x}}>$

$>{\frac {1}{k}}\cdot \left[\int _{{\mathcal {R}}_{k}\cap {\bar {\mathcal {R}}}}{\mathcal {L}}({\boldsymbol {x}}|\theta _{0})\,\mathrm {d} {\boldsymbol {x}}-\int _{{\mathcal {R}}\cap {\bar {\mathcal {R}}}_{k}}{\mathcal {L}}({\boldsymbol {x}}|\theta _{0})\,\mathrm {d} {\boldsymbol {x}}\right]$.

Ricordando la (13.6),

$\int _{{\mathcal {R}}_{k}}{\mathcal {L}}({\boldsymbol {x}}|\theta _{a})\,\mathrm {d} {\boldsymbol {x}}-\int _{\mathcal {R}}{\mathcal {L}}({\boldsymbol {x}}|\theta _{a})\,\mathrm {d} {\boldsymbol {x}}\;>\;{\frac {1}{k}}\cdot \left[\int _{{\mathcal {R}}_{k}}{\mathcal {L}}({\boldsymbol {x}}|\theta _{0})\,\mathrm {d} {\boldsymbol {x}}-\int _{\mathcal {R}}{\mathcal {L}}({\boldsymbol {x}}|\theta _{0})\,\mathrm {d} {\boldsymbol {x}}\right]$

e, se ${\mathcal {R}}\in \Re$ e quindi soddisfa anch’essa alla (13.5),

$\int _{{\mathcal {R}}_{k}}{\mathcal {L}}({\boldsymbol {x}}|\theta _{a})\,\mathrm {d} {\boldsymbol {x}}-\int _{\mathcal {R}}\!{\mathcal {L}}({\boldsymbol {x}}|\theta _{a})\,\mathrm {d} {\boldsymbol {x}}\;>\;{\frac {1}{k}}\cdot \left[P_{I}-P_{I}\right]\;=\;0$

che era la nostra tesi.

13.3 Tests di massima potenza uniforme

Consideriamo ora un esempio del tipo di quello del paragrafo 13.1; e sia sempre disponibile un campione di $N$ misure indipendenti derivante da una popolazione normale di varianza nota. Assumiamo ancora come ipotesi nulla quella che la popolazione abbia un certo valore medio, che supponiamo essere 0, ma sostituiamo alla vecchia ipotesi alternativa $H_{a}$ una nuova ipotesi composta; ovvero quella che il valore medio della popolazione sia positivo:

${\begin{cases}x\sim N(x;\mu ,\sigma )\\H_{0}\equiv \{\mu =0\}\\H_{a}\equiv \{\mu >0\}\\\end{cases}}$

(con $\sigma >0$ noto)

(l’ipotesi alternativa è dunque somma logica di infinite ipotesi semplici del tipo $\mu =\mu _{a}$ con $\mu _{a}>0$).

Dalla (13.1) ricaviamo immediatamente le

${\mathcal {L}}({\boldsymbol {x}};0,\sigma )\;=\;-N\,\ln {\bigl (}\sigma {\sqrt {2\pi }}{\bigr )}-{\frac {1}{2\sigma ^{2}}}\sum _{i=1}^{N}{x_{i}}^{2}$

e

${\mathcal {L}}({\boldsymbol {x}};\mu _{a},\sigma )\;=\;-N\,\ln {\bigl (}\sigma {\sqrt {2\pi }}{\bigr )}-{\frac {1}{2\sigma ^{2}}}\left(\sum _{i=1}^{N}{x_{i}}^{2}-2N{\bar {x}}\mu _{a}+N{\mu _{a}}^{2}\right)$