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13.4 - Il rapporto delle massime verosimiglianze

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(sempre con $\mu _{a}>0$); e, sostituendole nella (13.4), che definisce la generica regione di rigetto ${\mathcal {R}}_{k}$, otteniamo

$\ln \lambda \;=\;\ln {\mathcal {L}}({\boldsymbol {x}};0,\sigma )-{\mathcal {L}}({\boldsymbol {x}};\mu _{a},\sigma )\;=\;{\frac {N\mu _{a}}{2\sigma ^{2}}}\left(\mu _{a}-2{\bar {x}}\right)\;<\;\ln k$

equivalente alla

${\mathcal {R}}_{k}\;\equiv \;\left\{\;{\bar {x}}>{\frac {N{\mu _{a}}^{2}-2\sigma ^{2}\ln k}{2N\mu _{a}}}=c\;\right\}$.

Si rigetta quindi $H_{0}$ se la media aritmetica del campione è superiore a $c$ e la si accetta altrimenti: la probabilità di commettere errori di prima specie vale

$P_{I}\;=\;1-\alpha \;=\;\int _{c}^{+\infty }N\left(x;0,{\frac {\sigma }{\sqrt {N}}}\right)\,\mathrm {d} x$

ed è ben definita; ma, al contrario, la probabilità di commettere errori di seconda specie dipende dal particolare valore di $\mu _{a}$, e non può quindi essere calcolata.

Se interessa solo contenere gli errori di prima specie e la dimensione del campione è nota, si fissa $\alpha$ e si ricava il corrispondente valore di $c$ dall'equazione precedente; altrimenti occorre fare delle ulteriori ipotesi sulla funzione di frequenza dei differenti valori di $\mu _{a}$, e, ad esempio, calcolare la probabilità degli errori di seconda specie con tecniche di Montecarlo.

In ogni caso, però, osserviamo che la regione di rigetto è sempre dello stesso tipo (13.4) per qualsiasi $\mu _{a}>0$; e quindi un confronto separato tra $H_{0}$ ed ognuna delle differenti ipotesi semplici che costituiscono $H_{a}$ è comunque del tipo per cui il lemma di Neyman-Pearson garantisce la massima potenza.

Tests di questo tipo, per i quali la significanza è costante e la potenza è massima per ognuno dei casi semplici che costituiscono l'ipotesi alternativa, si dicono “tests di massima potenza uniforme”.

13.4 Il rapporto delle massime verosimiglianze

Nel caso generale in cui sia l'ipotesi nulla che quella alternativa siano composte, la situazione è più complicata: non esiste normalmente un test di massima potenza uniforme, e, tra i vari criteri possibili per decidere tra le due ipotesi, bisogna capire quali abbiano caratteristiche (significanza e potenza) adeguate; un metodo adatto a costruire una regione di rigetto dotata asintoticamente (per grandi campioni) di caratteristiche, appunto, desiderabili, è quello seguente (metodo del rapporto delle massime verosimiglianze).