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Capitolo 13 - La verifica delle ipotesi (II)

e quelli di seconda specie

$P_{II}\;=\;1-\beta \;=\;\Pr {\bigl (}{\bar {x}}<c|H_{a}{\bigr )}\;=\;\int _{-\infty }^{c}\!N\left(x;1,{\frac {\sigma }{\sqrt {N}}}\right)\,\mathrm {d} x$

(13.3)

per cui si hanno svariate possibilità: ad esempio, se interessa contenere gli errori di prima specie e la dimensione del campione è nota, si fissa un valore opportunamente grande per $\alpha$ e dalla (13.2) si ricava $c$; o, se interessa contenere gli errori di seconda specie e la dimensione del campione è nota, si fissa $\beta$ e si ricava $c$ dalla (13.3); o, infine, se si vogliono contenere gli errori di entrambi i tipi, si fissano sia $\alpha$ che $\beta$ e si ricava la dimensione minima del campione necessaria per raggiungere lo scopo utilizzando entrambe le equazioni (13.2) e (13.3).

13.2 Il lemma di Neyman-Pearson

L’essere ricorsi per la definizione della regione di rigetto ${\mathcal {R}}$ al calcolo del rapporto delle funzioni di verosimiglianza non è stato casuale; esiste infatti un teorema (il cosiddetto lemma di Neyman— Pearson) il quale afferma che

Se si ha a disposizione un campione di N valori indipendenti $x_{i}$ da utilizzare per discriminare tra un’ipotesi nulla ed un’ipotesi alternativa entrambe semplici, e se è richiesto un livello fisso $\alpha$ di significanza, la massima potenza del test (ovvero la minima probabilità di errori di seconda specie) si raggiunge definendo la regione di rigetto ${\mathcal {R}}_{k}$ attraverso una relazione del tipo

${\mathcal {R}}_{k}\;\equiv \;\left\{\;\lambda ={\frac {{\mathcal {L}}({\boldsymbol {x}}|H_{0})}{{\mathcal {L}}({\boldsymbol {x}}|H_{a})}}<k\;\right\}$.

(13.4)

Infatti, indicando con $f=f(x;\theta )$ la densità di probabilità della variabile $x$ (che supponiamo dipenda da un solo parametro $\theta$), siano $H_{0}\equiv \{\theta =\theta _{0}\}$ e $H_{a}\equiv \{\theta =\theta _{a}\}$ le due ipotesi (semplici) tra cui decidere; la funzione di verosimiglianza vale, come sappiamo,

${\mathcal {L}}({\boldsymbol {x}};\theta )=\prod _{i=1}^{N}f(x_{i};\theta )$.

Indichiamo con $\Re$ l’insieme di tutte le regioni ${\mathcal {R}}$ per le quali risulti

$P_{I}\;=\;\int _{\mathcal {R}}{\mathcal {L}}({\boldsymbol {x}};\theta _{0})\,\mathrm {d} {\boldsymbol {x}}\;=\;1-\alpha$

(13.5)