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232 Capitolo 13 - La verifica delle ipotesi (II)

e quelli di seconda specie

(13.3)

per cui si hanno svariate possibilità: ad esempio, se interessa contenere gli errori di prima specie e la dimensione del campione è nota, si fissa un valore opportunamente grande per e dalla (13.2) si ricava ; o, se interessa contenere gli errori di seconda specie e la dimensione del campione è nota, si fissa e si ricava dalla (13.3); o, infine, se si vogliono contenere gli errori di entrambi i tipi, si fissano sia che e si ricava la dimensione minima del campione necessaria per raggiungere lo scopo utilizzando entrambe le equazioni (13.2) e (13.3).

13.2 Il lemma di Neyman-Pearson

L’essere ricorsi per la definizione della regione di rigetto al calcolo del rapporto delle funzioni di verosimiglianza non è stato casuale; esiste infatti un teorema (il cosiddetto lemma di Neyman— Pearson) il quale afferma che

Se si ha a disposizione un campione di N valori indipendenti da utilizzare per discriminare tra un’ipotesi nulla ed un’ipotesi alternativa entrambe semplici, e se è richiesto un livello fisso di significanza, la massima potenza del test (ovvero la minima probabilità di errori di seconda specie) si raggiunge definendo la regione di rigetto attraverso una relazione del tipo
. (13.4)

Infatti, indicando con la densità di probabilità della variabile (che supponiamo dipenda da un solo parametro ), siano e le due ipotesi (semplici) tra cui decidere; la funzione di verosimiglianza vale, come sappiamo,

.

Indichiamo con l’insieme di tutte le regioni per le quali risulti

(13.5)