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Capitolo 11 - Stime di parametri

Il denominatore della (11.17) rappresenta infatti la probabilità di decadere tra il tempo $t_{\min }$ e quello $t_{\max }$, come è immediato ricavare dalla funzione di distribuzione della densità di probabilità esponenziale, che vale

$F(t)\;=\;\int _{0}^{t}{\frac {1}{\tau }}\,e^{-{\frac {x}{\tau }}}\,\mathrm {d} x=1-e^{-{\frac {t}{\tau }}}$;

dalla (11.17) si ricava poi

$\ln({\mathcal {L}})=-N\ln \tau +\sum _{i=1}^{N}\left\{-{\frac {t_{i}}{\tau }}-\ln \left[e^{-{\frac {(t_{\min })_{i}}{\tau }}}-e^{-{\frac {(t_{\max })_{i}}{\tau }}}\right]\right\}$

e, posto per brevità

$\varphi _{i}(\tau )={\frac {(t_{\min })_{i}^{2}\cdot e^{-{\frac {(t_{\min })_{i}}{\tau }}}-(t_{\max })_{i}^{2}\cdot e^{-{\frac {(t_{\max })_{i}}{\tau }}}}{e^{-{\frac {(t_{\min })_{i}}{\tau }}}-e^{-{\frac {(t_{\max })_{i}}{\tau }}}}}$

si arriva alla

${\frac {\mathrm {d} \ln({\mathcal {L}})}{\mathrm {d} \tau }}={\frac {1}{\tau ^{2}}}\left\{\sum _{i=1}^{N}{\bigl [}t_{i}-\varphi _{i}(\tau ){\bigr ]}-N\tau \right\}=0$

che bisogna risolvere in modo numerico. Non si può inoltre in questo caso garantire che le proprietà precedentemente delineate per ${\hat {\tau }}$ (consistenza, normalità, efficienza, ...) siano ancora valide, almeno per $N$ finito. Può darsi che la funzione di verosimiglianza ammetta più di un massimo, e non si sa a priori quale di essi convergerà verso $\tau ^{*}$; e, per finire, l’errore della stima deve essere ricavato dalla concavità della funzione di verosimiglianza, supposta approssimativamente normale.