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11.5 - Altre applicazioni della stima di massima verosimiglianza

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ed il suo logaritmo vale

$\ln({\mathcal {L}})\;=\;-N\ln \tau -{\frac {1}{\tau }}\sum _{k=1}^{N}t_{k}=-N\left({\frac {\bar {t}}{\tau }}+\ln \tau \right)$.

Derivando rispetto al parametro e cercando gli estremanti,

${\frac {\mathrm {d} \ln({\mathcal {L}})}{\mathrm {d} \tau }}\;=\;{\frac {N}{\tau ^{2}}}({\bar {t}}-\tau )=0$;

e quindi l’unico estremante della funzione di verosimiglianza si ha per

${\hat {\tau }}={\bar {t}}$.

Se calcoliamo la derivata seconda,

${\frac {\mathrm {d} ^{2}\ln({\mathcal {L}})}{\mathrm {d} \tau ^{2}}}={\frac {N}{\tau ^{3}}}\left(2{\bar {t}}-\tau \right)$

essa, calcolata per $t={\bar {t}}$ è negativa; quindi l’unico estremante è effettivamente un punto di massimo.

La soluzione di massima verosimiglianza ${\hat {\tau }}={\bar {t}}$ è consistente ed imparziale (essendo il valore medio del campione); di varianza minima (per il teorema di Cramér-Rao); inoltre la stima è sufficiente (riassume insomma tutta l’informazione del campione).

Normalmente l’efficienza non è però unitaria; ad esempio il nostro rivelatore può avere dimensioni confrontabili col cammino medio delle particelle, che possono quindi uscirne prima di decadere. In questo caso, visto che i decadimenti possono essere stati osservati solo essendo avvenuti all’interno di un intervallo compreso tra un valore temporale minimo (eventualmente nullo) ed uno massimo (ad esempio dipendente dalla posizione del decadimento, dalla direzione di emissione dei suoi prodotti, dalle dimensioni del rivelatore, ...) — intervallo differente per ognuno dei decadimenti — dovremo costruire la funzione di verosimiglianza considerando le probabilità di osservazione condizionate dall’essere il decadimento $i$-esimo avvenuto tra un certo $(t_{\min })_{i}$ ed un certo $(t_{\max })_{i}$:

${\mathcal {L}}=\prod _{i=1}^{N}\left[{\frac {{\frac {1}{\tau }}e^{-{\frac {t_{i}}{\tau }}}}{e^{-{\frac {(t_{\min })_{i}}{\tau }}}-e^{-{\frac {(t_{\max })_{i}}{\tau }}}}}\right]$

(11.17)