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Capitolo 11 - Stime di parametri

11.5.2 Media e varianza di una popolazione normale

Abbiamo già visto nel paragrafo 11.3 che, ammessa nota la varianza $\sigma ^{2}$ di una popolazione normale, il suo valore medio $\mu$ ha come stima di massima verosimiglianza la media aritmetica ${\bar {x}}$ di un campione di stime indipendenti; vogliamo ora stimare contemporaneamente sia $\mu$ che $\sigma$ dai dati, usando sempre il metodo della massima verosimiglianza.

La densità di probabilità vale

$f(x;\mu ,\sigma )={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\,e^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{2}}$

ed il suo logaritmo

$\ln f(x;\mu ,\sigma )\;=\;-\ln \sigma -\ln {\sqrt {2\pi }}-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{2}$.

Il logaritmo della funzione di verosimiglianza è

$\ln {\mathcal {L}}({\boldsymbol {x}};\mu ,\sigma )\;=\;\sum _{i=1}^{N}\ln f(x_{i};\mu ,\sigma )$

e dunque

$\ln {\mathcal {L}}({\boldsymbol {x}};\mu ,\sigma )\;=\;-N\ln \sigma -N\,\ln {\sqrt {2\pi }}-{\frac {1}{2\sigma ^{2}}}\sum _{i=1}^{N}\left(x_{i}-\mu \right)^{2}$;

e le sue derivate parziali prime sono

${\frac {\partial }{\partial \mu }}\ln {\mathcal {L}}\;=\;{\frac {1}{\sigma ^{2}}}\,\sum _{i=1}^{N}\left(x_{i}-\mu \right)\;=\;{\frac {1}{\sigma ^{2}}}\left(\sum \limits _{i=1}^{N}x_{i}-N\mu \right)$

e

${\frac {\partial }{\partial \sigma }}\ln {\mathcal {L}}\;=\;-{\frac {N}{\sigma }}+{\frac {1}{\sigma ^{3}}}\sum _{i=1}^{N}\left(x_{i}-\mu \right)^{2}\;=\;{\frac {1}{\sigma ^{3}}}\,\left[\sum _{i=1}^{N}\left(x_{i}-\mu \right)^{2}-N\sigma ^{2}\right]$.

Il sistema ottenuto annullando le due derivate parziali prime ha l'unica soluzione (in effetti un massimo) data da

${\widehat {\mu }}={\bar {x}}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}$

e

${\widehat {\sigma }}^{2}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\left(x_{i}-{\widehat {\mu }}\right)^{2}$.