Sopra alcune questioni nella teoria delle curve piane (Cremona)/5

Questo testo è da formattare.

Luigi Cremona - Sopra alcune questioni nella teoria delle curve piane (1864)

Art. 5. Sulle reti di curve di second'ordine

Informazioni sulla fonte del testo

◄

4

6

►

[p. 144 modifica]21. Data una rete di coniche, consideriamole come polari relative ad una curva di terz’ordine incognita, e cerchiamone i poli. Siano $A_{1},A_{2},A_{3}$ tre coniche della rete, non circoscritte ad uno stesso quadrangolo: e si supponga, ciò che evidentemente è lecito senza punto scemare la generalità della ricerca, che $A_{1},A_{2}$ siano due paja di rette rispettivamente incrociate in $o_{1},o_{2}$ ; ed $A_{3}$ passi per questi due punti. Sia poi $o_{3}$ il terzo punto diagonale del quadrangolo formato dalle quattro intersezioni di $A_{1},A_{2}$ ; e si chiamino $a_{1},a_{2},a_{3}$ poli incogniti delle tre coniche. Siccome la retta polare di $a_{2}$ rispetto ad $A_{1}$ dee coincidere (6) colla retta polare di $a_{1}$ rispetto ad $A_{2}$ , così tale polare sarà necessariamente la retta $o_{1}o_{2}$ ; epperò $a_{1},a_{2}$ saranno rispettivamente situati in $o_{2}o_{3},o_{1}o_{3}$ . La polare di $a_{1}$ rispetto ad $A_{3}$ dev’essere anche la polare di $a_{3}$ rispetto ad $A_{1}$ , dunque passerà per $o_{1}$ ; cioè $a_{1}$ giace anche sulla tangente ad $A_{3}$ in $o_{1}$ . Analogamente $a_{2}$ è situato nella tangente ad $A_{3}$ in $o_{2}$ .

Trovati così $a_{1},a_{2}$ , siano $o_{1}\omega _{1},o_{2}\omega _{2}$ le loro polari rispetto ad $A_{3}$ : queste rette saranno anche le polari di $a_{3}$ rispetto ad $A_{1},A_{2}$ : dunque $a_{3}$ è l’intersezione della coniugata armonica di $o_{1}\omega _{1}$ rispetto alle due rette $A_{1}$ , colla coniugata armonica di $o_{2}\omega _{2}$ rispetto alle due rette $A_{2}$ .

Ed ora si potrà costruire il polo $a$ di qualunque altra conica $A$ della rete: infatti il punto $a$ sarà, rispetto ad $A_{3}$ , il polo di quella retta che è la polare di $a_{3}$ rispetto ad $A$ .

Viceversa, dato un punto $a$ , si potrà determinare la sua conica polare $A$ per es. nel seguente modo. Si cerchi la retta $R$ che unisce i poli di due coniche della rete passanti per $a$ . La conica richiesta $A$ sarà quella rispetto alla quale $a$ è il polo della retta $R$ .

Ed ecco come si possono determinare le intersezioni della cubica fondamentale con una trasversale qualunque $T$ . Se $x$ è un punto in $T$ , la sua conica polare sega $T$ in due punti $x'$ . Viceversa, se si prende in $T$ un punto $x'$ , le coniche polari passanti per $x'$ hanno i loro poli nella retta polare di questo punto, la quale segherà $T$ in un punto $x$ . Quindi le coppie di punti $x'$ formano un’involuzione (quadratica) projettiva alla serie semplice de’ punti $x$ . I tre punti comuni alle due serie sono quei punti di $T$ che giacciono nelle rispettive coniche polari, cioè sono i punti ove la cubica fondamentale è incontrata dalla trasversale $T$ .

22. Veniamo ora a casi particolari e supponiamo che nella rete vi sia una conica [p. 145 modifica]consistente in una retta $P$ presa due volte: conica che indicheremo col simbolo $P^{2}$ . Se anche in questo caso le coniche della rete formano un sistema di polari, ciascun punto della retta $P$ dev’essere il polo di una conica dotata di punto doppio [nel polo $p$ della conica $P^{2}$ ] (Introd. 78); ma d’altronde le coniche polari dei punti di una retta formano un fascio: dunque nella rete vi dev’essere un fascio di coniche tutte dotate di punto doppio [in $p$ ]. Un tal fascio non può essere che un fascio di coppie di rette [passanti per $p$ ] in involuzione: ed i raggi doppi, $Q,R$ , daranno due nuove coniche $Q^{2},R^{2}$ della rete. [50] Donde segue (Introd. 79) che le rette $P,Q,R$ formano un trilatero, ciascun lato del quale preso due volte costituisce la conica polare del vertice opposto.

Queste tre coniche $P^{2},Q^{2},R^{2}$ , in causa della loro speciale natura, non bastano per individuare tutto il sistema dei poli: cioè qui il problema di trovare la curva fondamentale rimane indeterminato. Esso diverrà determinato se per un’altra conica della rete (che non sia un pajo di rette) si assume ad arbitrio il polo (fuori delle rette $PQR$ ). [51]

La conica della rete che debba passare per due punti dati $o,o'$ si determina col metodo ordinario (Introd. 77, a). La conica del fascio $(P^{2},Q^{2})$ che passa per $o$ è un pajo di rette formanti sistema armonico con $P,Q$ , e così pure la conica del fascio $(P^{2},R^{2})$ passante per $o$ è un pajo di rette coniugate armoniche rispetto alle due $P,R$ . Queste due coniche intersecandosi determinano un quadrangolo completo, il cui triangolo diagonale è $PQR$ . Ora la conica richiesta è quella che passa pei vertici di questo quadrangolo e per $o'$ : dunque, per essa, $PQR$ è un triangolo coniugato. Cioè tutte le coniche della rete sono coniugate ad uno stesso triangolo.

La curva Hessiana si compone in questo caso delle tre rette $P,Q,R$ , [52] e per conseguenza (Introd. 145) la cubica fondamentale è equianarmonica.

Di qui risulta che la rete non può contenere una quarta conica che sia una retta presa due volte. Ciò è anche evidente perchè una tal retta farebbe necessariamente parte della Hessiana la quale, essendo una linea del terz’ordine, non può contenere più di tre rette.

23. Supposta adunque l’esistenza di una conica $P^{2}$ in una rete di coniche, affinchè queste siano un sistema di polari, è d’uopo che i punti di $P$ siano poli di coniche consistenti in coppie di rette d’un fascio in involuzione. Se questa involuzione ha due raggi doppi $Q,R$ , distinti fra loro e dalla retta $P$ , otteniamo il caso or ora considerato (22). Supponiamo ora invece che i due raggi doppi coincidano, ossia che tutte le coppie anzidette abbiano una retta comune $Q$ : in questo caso, de’ tre lati del trilatero $PQR$ due, $Q,R$ , coincidono, epperò la Hessiana consterà della retta $Q$ presa due volte e della retta $P$ . (Si ottiene questo medesimo caso se uno de’ raggi doppi dell’involuzione, supposti distinti, coincide colla retta $P$ ). [p. 146 modifica]

I punti di $Q$ sono poli di coniche consistenti in coppie di rette coniugate armonicamente con $PQ$ ; ed i punti di $P$ sono poli di coniche composte della retta fissa $Q$ e di una retta variabile intorno ad un punto fisso $o$ di $Q$ . Il punto $PQ$ , appartenendo ad entrambe quelle rette, sarà il polo della conica $Q^{2}$ ; ed il punto $o$ , doppio per le coniche polari de’ punti di $P$ , avrà per conica polare $P^{2}$ . Si vede anche facilmente che, come nel caso precedente i punti $QR,RP,PQ$ erano i poli delle rette $P,Q,R$ rispetto a tutte le coniche della rete, così nel caso attuale i punti $o$ e $PQ$ sono i poli delle rette $P,Q$ relativamente a tutte le coniche della rete.

Da ciò che precede si raccoglie che tutte le coniche della rete toccano $Q$ nel punto $PQ$ , e siccome questo punto ha per polare la conica $Q^{2}$ , così la cubica fondamentale avrà una cuspide nel punto $PQ$ colla tangente $Q$ . E la retta $P$ (che nel caso precedente, più generale, conteneva tre flessi della cubica) nel caso attuale congiunge la cuspide al flesso (unico) della curva fondamentale. La conica polare del flesso è composta della retta $Q$ e della tangente stazionaria: quindi il punto $o$ è l’intersezione della tangente cuspidale colla tangente stazionaria.

24. Può aver luogo il caso ancor più particolare che tutti e tre i lati del triangolo coniugato $PQR$ coincidano in una sola retta $P$ . Allora è chiaro che ogni punto di $P$ sarà il polo di una conica composta della stessa retta $P$ e di una seconda retta variabile intorno ad un punto fisso $o$ di $P$ ; e questo punto $o$ sarà il polo della conica $P^{2}$ . Ne segue che tutte le coniche della rete hanno fra loro un contatto tripunto in $o$ colla tangente $P$ ; e che tutti i punti di questa retta appartengono alla cubica fondamentale, la quale risulta composta della retta $P$ e di una conica tangente a $P$ in $o$ .

Naturalmente la Hessiana è in questo caso la retta $P$ presa tre volte.

25. Le considerazioni precedenti manifestano che allorquando la rete contiene una conica $P^{2}$ , o due coniche $P^{2},Q^{2}$ , affinchè quella ammetta una cubica fondamentale è necessario che le coniche della rete si possano risguardare come coniugate ad uno stesso triangolo di cui i tre lati o due soltanto coincidono insieme: ossia è necessario che, nel primo caso, tutte le coniche della rete abbiano fra loro un contatto tripunto colla tangente comune $P$ ; e nel secondo caso, che le coniche della rete tocchino una delle rette $P,Q$ nel punto comune a queste, ed abbiano rispetto all’altra uno stesso polo fisso. [53]

Ma se la rete contiene una o due coniche consistenti in un pajo di rette coincidenti, e non sono sodisfatte le dette condizioni, le coniche della rete non costituiscono un sistema di polari. Ciò ha luogo per es. se la rete è individuata da una conica $P^{2}$ e da due coniche che non seghino $P$ negli stessi punti; se la rete è formata da coniche seganti una retta $P$ in due punti fissi e rispetto alle quali un altro punto fisso di $P$ abbia per polare una retta data; se la rete contiene due coniche $P^{2},Q^{2}$ ed un’altra [p. 147 modifica]conica qualunque non passante pel punto $PQ$ ; ecc. Nel primo di questi casi la Jacobiana è composta della retta $P$ e di una conica che sega $P$ ne’ due punti coniugati armonici rispetto alle coniche della rete; nel secondo caso la Jacobiana contiene due volte la retta $P$ ed inoltre quell’altra retta data che è polare di un punto di $P$ rispetto a tutte le coniche della rete; nel terzo caso la Jacobiana è composta delle due rette $P,Q$ e della corda di contatto di quella conica della rete che è tangente a $P$ e $Q$ . [54]

Concludiamo pertanto che il problema "data una rete di coniche, trovare una cubica rispetto alla quale le coniche siano le polari dei punti del piano„ ammette una (una sola) soluzione sempre allorquando nella rete non vi sia alcuna conica che consista in due rette coincidenti. Se di tali coniche ve n’è una sola o ve ne sono due, il problema ammette o nessuna soluzione, o infinite soluzioni: e vi sono infinite soluzioni anche nel caso che la rete contenga tre di quelle coniche eccezionali. Nei casi in cui il problema è indeterminato, ciascuna soluzione è individuata col fissare ad arbitrio il polo di una conica della rete, [55] conica che non consista in due rette coincidenti.