Sopra alcune questioni nella teoria delle curve piane (Cremona)/2

by Luigi Cremona

Art. 2. Dimostrazione del teorema fondamentale per le polari miste [40]

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Luigi Cremona - Sopra alcune questioni nella teoria delle curve piane (1864)

Art. 2. Dimostrazione del teorema fondamentale per le polari miste [40]

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5. Lemma 1.° La polare¹ di un punto qualunque passa pei punti doppi della curva fondamentale (Introd. 16).

Lemma 2.° Le polari di un punto fisso rispetto alle curve di un fascio formano un altro fascio (Introd. 84, a).

Lemma 3.° Se la curva fondamentale è composta di una retta e di un’altra curva, e se il polo è preso in questa retta, la polare è composta della retta medesima e della polare relativa alla seconda curva (Questa proprietà consegue dalla definizione delle polari e dal teorema Introd. 17).

Lemma 4.° Se per gli $n^{2}$ punti in cui una curva d’ordine $n$ è incontrata da $n$ rette passanti per un punto $o$, si descrive un’altra curva dello stesso ordine, il punto $o$ ha la stessa polare rispetto alle due curve (Infatti le polari di $o$ rispetto alle due curve hanno $n-1$ punti comuni sopra ciascuna delle $n$ rette date).

6. Sia ora data una curva (fondamentale) $C_{n}$ d’ordine $n$, e siano $o,o'$ due punti qualisivogliano dati. Indichiamo con $P_{oo'}$ la polare di $o$ rispetto alla polare di $o'$; ed analogamente con $P_{o'o}$ la polare di $o'$ rispetto alla polare di $o$; dimostreremo che $P_{oo'}$ e $P_{o'o}$ coincidono in una sola e medesima curva.

Si conduca per $o'$ una retta arbitraria $R$, e sia $J_{n}$ il fascio delle $n$ rette condotte da $o$ alle $n$ intersezioni di $C_{n}$ ed $R$. Le altre $n(n-1)$ intersezioni dei luoghi $C_{n}$, $J_{n}$ giaceranno tutte (Introd. 43, b) in una curva $C_{n-1}$ d’ordine $n-1$. Siccome $C_{n}$ appartiene al fascio $(J_{n},RC_{n-1})$, così la polare di $o'$ rispetto a $C_{n}$ apparterrà (lemma 2°) al fascio $(\varphi _{n-1},R\Gamma _{n-2})$, ove $\varphi _{n-1}$ è il fascio di $n-1$ rette concorrenti in $o$ che costituiscono la polare di $o'$ rispetto a $J_{n}$ (Introd. 20), e $\Gamma _{n-2}$ è la polare di $o'$ rispetto a $C_{n-1}$: la qual curva $\Gamma _{n-2}$ accoppiata con $R$ forma la polare di $o'$ rispetto al luogo $RC_{n-1}$ (lemma 3°). Dal lemma 4° poi segue che la curva $P_{oo'}$ non è altra cosa che la polare di $o$ rispetto ad $R\Gamma _{n-2}$, epperò essa passa per le $n-2$ intersezioni di $\Gamma _{n-2}$ ed $R$ (lemma 1°).

Da ciò che $C_{n}$ passa per le $n^{2}$ intersezioni dei luoghi $J_{n}$ ed $RC_{n-1}$, segue ancora (lemma 4°) che la polare di $o$ rispetto a $C_{n}$ coincide colla polare di $o$ rispetto ad $RC_{n-1}$, epperò passa per le $n-1$ intersezioni di $C_{n-1}$ ed $R$ (lemma 1°). La curva $P_{o'o}$ passerà adunque per gli $n-2$ centri armonici del sistema formato dalle anzidette $n-1$ intersezioni, rispetto al polo $o'$; cioè $P_{o'o}$ passerà per gli $n-2$ punti in cui $R$ sega $\Gamma _{n-2}$.

Da ciò si raccoglie che le polari miste $P_{oo'}$, $P_{o'o}$ hanno $n-2$ punti comuni sopra una trasversale condotta arbitrariamente pel punto $o'$. Dunque esse non sono altro che una sola e medesima curva d'ordine $n-2$.

7. Abbiansi ora nel piano $\mu +1$ punti qualisivogliano $o,o',o'',\dots o^{(\mu )}$, e si indichi con $P_{oo'o''}$ la polare di $o$ rispetto a $P_{o'o''}$, con $P_{oo'o''o'''}$, la polare di $o$ rispetto a $P_{o'o''o'''}$ ecc. Dal teorema ora dimostrato segue manifestamente che la polare $P_{oo'o''\dots o^{(\mu )}}$ rimane la stèssa curva, in qualunque ordine siano presi i poli $o,o',o'',\dots o^{(\mu )}$. Se poi si suppone che $r$ di questi punti coincidano in un solo $o$, e che gli altri $\mu +1-r=r'$ si riuniscano insieme in $o'$, avremo il teorema generale:

Per una qualsivoglia curva fondamentale, la polare $(r)$^ma di un punto $o$ rispetto alla polare $(r')$^ma di un altro punto $o'$ coincide colla polare $(r')$^ma di $o'$ rispetto alla polare $(r)$^ma di $o$. [41]

Note

1. S’intenda sempre prima polare.