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20. Se una curva $C_{m}$ sega la Jacobiana in $3m(n-1)$ punti $p$, la curva $\Sigma$ toccherà ne’ corrispondenti $3m(n-1)$ punti $a$ il luogo $L$ dei punti ai quali corrispondono curve $A$ tangenti a $C_{m}$ (Introd. 122). Ecc. ecc. [49]

Sulle reti di curve di second'ordine.

21. Data una rete di coniche, consideriamole come polari relative ad una curva di terz’ordine incognita, e cerchiamone i poli. Siano $A_{1},A_{2},A_{3}$ tre coniche della rete, non circoscritte ad uno stesso quadrangolo: e si supponga, ciò che evidentemente è lecito senza punto scemare la generalità della ricerca, che $A_{1},A_{2}$ siano due paja di rette rispettivamente incrociate in $o_{1},o_{2}$; ed $A_{3}$ passi per questi due punti. Sia poi $o_{3}$ il terzo punto diagonale del quadrangolo formato dalle quattro intersezioni di $A_{1},A_{2}$; e si chiamino $a_{1},a_{2},a_{3}$ poli incogniti delle tre coniche. Siccome la retta polare di $a_{2}$ rispetto ad $A_{1}$ dee coincidere (6) colla retta polare di $a_{1}$ rispetto ad $A_{2}$, così tale polare sarà necessariamente la retta $o_{1}o_{2}$; epperò $a_{1},a_{2}$ saranno rispettivamente situati in $o_{2}o_{3},o_{1}o_{3}$. La polare di $a_{1}$ rispetto ad $A_{3}$ dev’essere anche la polare di $a_{3}$ rispetto ad $A_{1}$, dunque passerà per $o_{1}$; cioè $a_{1}$ giace anche sulla tangente ad $A_{3}$ in $o_{1}$. Analogamente $a_{2}$ è situato nella tangente ad $A_{3}$ in $o_{2}$.

Trovati così $a_{1},a_{2}$, siano $o_{1}\omega _{1},o_{2}\omega _{2}$ le loro polari rispetto ad $A_{3}$: queste rette saranno anche le polari di $a_{3}$ rispetto ad $A_{1},A_{2}$: dunque $a_{3}$ è l’intersezione della coniugata armonica di $o_{1}\omega _{1}$ rispetto alle due rette $A_{1}$, colla coniugata armonica di $o_{2}\omega _{2}$ rispetto alle due rette $A_{2}$.

Ed ora si potrà costruire il polo $a$ di qualunque altra conica $A$ della rete: infatti il punto $a$ sarà, rispetto ad $A_{3}$, il polo di quella retta che è la polare di $a_{3}$ rispetto ad $A$.

Viceversa, dato un punto $a$, si potrà determinare la sua conica polare $A$ per es. nel seguente modo. Si cerchi la retta $R$ che unisce i poli di due coniche della rete passanti per $a$. La conica richiesta $A$ sarà quella rispetto alla quale $a$ è il polo della retta $R$.

Ed ecco come si possono determinare le intersezioni della cubica fondamentale con una trasversale qualunque $T$. Se $x$ è un punto in $T$, la sua conica polare sega $T$ in due punti $x'$. Viceversa, se si prende in $T$ un punto $x'$, le coniche polari passanti per $x'$ hanno i loro poli nella retta polare di questo punto, la quale segherà $T$ in un punto $x$. Quindi le coppie di punti $x'$ formano un’involuzione (quadratica) projettiva alla serie semplice de’ punti $x$. I tre punti comuni alle due serie sono quei punti di $T$ che giacciono nelle rispettive coniche polari, cioè sono i punti ove la cubica fondamentale è incontrata dalla trasversale $T$.

22. Veniamo ora a casi particolari e supponiamo che nella rete vi sia una conica