Opere matematiche di Luigi Cremona/Note dei revisori-2

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Luigi Cremona - Opere matematiche (1914)

Note dei revisori-2

NOTE DEI REVISORI.

[¹] Pag. 1. La questione è proposta nel tomo XIX, p. 404 dei Nouv. Annales, nei termini seguenti: «Quel est le lieu que doit décrire le centre d’une sphère, pour que la polaire réciproque d’une surface du second ordre donnée, par rapport à cette sphère, soit toujours une surface de révolution.»

(Laguerre-Verly).

[²] Pag. 2. La questione è proposta nel tomo XV, p. 52 dei Nouv. Annales.

[³] Pag. 7. La costruzione a cui accenna l’A. trovasi in: Chasles, Note sur les courbes de troisième ordre, concernant les points d’intersection de ces courbes entre elles ou par des lignes d’un ordre inférieur (Comptes rendus de l’Acad. des Sc. de Paris, t. 41 (1855₂), pp. 1190-1197).

[⁴] Pag. 8. Com’è ben noto, un anno dopo il Cremona stesso (Queste Opere, n. 40) correggeva quel risultato di Schiaparelli, rilevando l’esistenza di trasformazioni piane biunivoche più generali di quelle qui citate.
Trasformando il piano per dualità, le corrispondenze Cremoniane puntuali si mutano in corrispondenze biunivoche fra rette, più generali che le trasformazioni assegnate in questa Nota. Qui si tratta solo di quelle che son soggette alla condizione di mutare le rette di un fascio nelle tangenti di una conica.

[⁵] Pag. 8. Vedi nota precedente. — Si abbia anche presente nel seguito che l’A. considera solo le «trasformazioni generali» di 2.° ordine, cioè quelle in cui i fasci di rette si mutano in coniche-inviluppo contenenti tutte tre rette distinte, quindi lati di un trilatero propriamente detto.

[⁶] Pag. 16. A pag. 251 dell’Aperçu, Chasles dice che la prospettiva di una curva gobba di 3.° ordine è una curva piana dello stesso ordine dotata di punto doppio. Ciò include che per un punto qualunque dello spazio passa una corda della curva gobba. (Aggiunta manoscritta del Cremona).

[⁷] Pag. 17, 40, 42. Adottando la denominazione oggi usata, queste due forme sarebbero «stelle» omografiche, non fasci. V anche la nota [⁹], t. 1.°

[⁸] Pag. 19. Ad un punto o situato sulla cubica gobba corrisponde non un solo punto o’, ma ogni punto della tangente in o. (Osservazione manoscritta del Cremona).

[p. 434 modifica]

[9] Pag. 20. Se il punto $o$ descrive una retta $r$ , il coniugato $o'$ descrive una cubica gobba che incontra la data in 4 punti (quelli ne’ quali la data cubica gobba è toccata da rette incontrate da $r$ ) ed ivi ne tocca i piani osculatori.

Se $o$ descrive un piano, $o'$ genera una superfìcie di 3.° ordine passante per la data cubica gobba e toccata lungo questa dai suoi piani osculatori. La superfìcie di 3.° ordine è osculata dalle tangenti della cubica gobba, epperò quésta è per essa una curva asintotica. Tre tangenti della cubica gobba giacciono per intero sulla superficie di 3.° ordine. (Aggiunta c. s.).

[10] Pag. 34. Si aggiunga « $m,n$ intersections avec $\alpha x,\beta x$ ».

[11] Pag. 42, 43. Qui deve sottintendersi «deux fois». V. anche la nota [30], t. 1.°

[12] Pag. 54. Questo lavoro fu presentato nella sessione ordinaria del 7 maggio 1863 (Rendiconto della citata Accademia, anno 1862-1863, pp. 106-107) colle stesse parole che qui sono premesse alla trattazione.

[13] Pag. 65. Le soluzioni di queste quistioni si trovano, quasi tutte, negli stessi volumi del Giornale di matematiche, od in lavori del Cremona.

[14] Pag. 66. Questo nome è l’anagramma di L. Cremona, ed è stato messo per le quistioni 19-22.

[15] Pag. 68. La questione 34 è qui corretta, secondo l’indicazione data a pag. 81 del vol. III del Giornale.

[16] Pag. 69. Nello stesso vol. III del Giornale, a pag. 149, si trova la seguente «Avvertenza»:

«La proprietà espressa nella quistione 44 (p. 64) con la quale si pone una relazione fra le tre caratteristiche di una superfìcie di 2.° ordine, non è vera in generale, siccome il signor Salmon ha fatto notare al signor Cremona».

Effettivamente si riconosce che le formole della quistione 44 valgono solo nell’ipotesi che la serie di quadriche non contenga alcuna superficie della 3.^a specie di degenerazione, cioè coppia di piani come luogo e coppia di punti come inviluppo.

[17] Pag. 74. La Memoria del Trudi, a cui si accenna in questa nota e nelle due successive, è la Esposizione di diversi sistemi di coordinate omogenee.

[18] Pag. 85. E probabile che le Leçons de ténèbres contenessero una teoria delle coniche, considerate come contorno dell’ombra progettata da una sfera, illuminata da un punto qualunque dello spazio.

[19] Pag. 92. Questo scritto è tradotto nella Einleitung (Cfr. queste Opere n. 61) pag. 167-169, (come la parte del n. 111bis), con poche variazioni insignificanti.

[20] Pag. 92. Si tratta della Memoria di E. de Jonquières, Théorèmes généraux concernant les courbes géométriques planes d’un ordine quelconque (Journal de mathém., 2^e série, t. 6, 1861, [p. 435 modifica]Pagina:Opere matematiche (Cremona) II.djvu/441 [p. 436 modifica]Pagina:Opere matematiche (Cremona) II.djvu/442 [p. 437 modifica]Pagina:Opere matematiche (Cremona) II.djvu/443 [p. 438 modifica]Pagina:Opere matematiche (Cremona) II.djvu/444 [p. 439 modifica]Pagina:Opere matematiche (Cremona) II.djvu/445 [p. 440 modifica]anzi tutto (ossia fino alla pag. 255) la traduzione della Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane (n. 29 di queste Opere), con modificazioni sulle quali s’è già riferito nelle note a quel tomo I: fra cui l’inserzione (v. ivi la nota [87]) delle Memorie n.ⁱ 47 e 48.

A questa parte principale dell'Einleitung seguono come appendice (pag. 256 e seg.ⁱ) delle Zusätze und weitere Ausführungen, dalle quali estrarremo le poche pagine che non hanno le corrispondenti nelle Memorie pubblicate in italiano.

[64] Pag. 183. Veggasi, in contrasto a ciò che qui s’accenna, la nota [70] a pag. 486 del tomo I di queste Opere.

[65] Pag. 185. Nell’ Einleitung qui stanno, per prima cosa, da pag. 256 a pag. 264, quelle aggiunte ai n.ⁱ 51, 69c, 88, dell’ Introduzione, che, come abbiam detto in [38], son la traduzione di parte della Memoria 53, e cioè delle pag. 135-140 di questo tomo. Inoltre la pag. 264 dell’ Einleitung contiene un’aggiunta al n. 111bis, a, la quale si ritrova nella Nota 48 del presente tomo, com’è detto in [22]. Seguono poi tre articoli, di cui diremo rispettivamente nelle note [66], [68], [69].

[66] Pag. 185. La maggior parte di questo primo articolo (da pag. 265 fino a metà della pag. 271) sta nella Memoria 53 (e precisamente a pag. 140-144 di questo tomo). Riproduciamo il resto, cioè da metà della pag. 271 sino alla fine della pag. 273. Lo si deve connettere alla lin. 3 di pag. 144 del presente volume. Cfr. [49].

[67] Pag. 187. Ossia (cfr. [65]) il teorema che è alla fine della pag. 138 di questo tomo.

[68] Pag. 187. Questo secondo articolo (cfr. [65] ), da pag. 274 a metà pag. 279, corrisponde a quel paragrafo della Memoria 53 che va da pag. 144 a pag. 147 di questo tomo: salvo sempre le lievi differenze indicate nelle note a quella Memoria.

[69] Pag. 187. Questo terzo ed ultimo articolo va da metà della pag. 279 sino a pag. 295, e contiene, come abbiam detto in [29], la traduzione della Memoria 52 (pag. 123-134 di questo tomo), colle modificazioni che furon consegnate nelle note a quella Memoria. In più vi si trovano, dalla metà della pag. 283 sino alla fine della pag. 288, le cose che qui riproduciamo, e che il lettore deve attaccare a quel punto della pag. 126 del presente volume, a cui s’è posta la nota [36] relativa precisamente a quest’aggiunta. Cfr. anche ciò che è detto in quella nota [36] per la fine dell’articolo.

[70] Pag. 188. Il teorema a cui qui si riferisce, e l’altro che vien citato due righe dopo, sono stati riprodotti nella nota [32].

[71] Pag. 191. Cioè il teorema che a pag. 126 di questo tomo sta immediatamente prima del richiamo [36].

[72] Pag. 193. Questa Nota fu letta nella Sessione ordinaria del 15 dicembre 1864 dell’ Accademia di Bologna. Di essa fu pubblicato un estratto, nel quale sono riassunti i principali risultati ottenuti (Rendiconto di questa Accademia, Anno accademico 1864-65). [p. 441 modifica]

Nel Bulletin des Sciences Mathématiques et Astronomiques, t. V (1873), a pag. 206, si trova una Nota Sur les transformations géométriques des figures planes (D’après les Mémoires publies par M. Cremona et des Notes inédites), che è una redazione e in buona parte una traduzione fatta da Ed. Dewulf sulle traccie della presente Nota. Di qualche miglioramento ivi introdotto abbiamo tenuto conto sia nelle note seguenti, sia nel riportare le aggiunte manoscritte di Cremona.

[73] Pag. 194. La forinola (1) si presta ad una nota obbiezione, che si evita scrivendo che il genere delle curve della rete è zero in conseguenza della (2). V. la nota*) dello stesso Cremona a pag. 56 di questo volume, e la redazione francese sopra citata.

[74] Pag. 203. Alle quattro soluzioni coniugate di sè stesse relative al caso $n=8$ , va aggiunta la quinta:

$x_{1}=3,\,x_{2}=3,\,x_{4}=3,\,x_{4}=3,\,x_{5}=0,\,x_{6}=0,\,x_{7}=0$ ,

che fu indicata dal Cayley (Proceedings of Ihe London Mathematical Society, t. III (1870), p. 143) e di cui il Cremona tenne conto nella redazione francese.

[75] Pag. 205. In un nota manoscritta alla redazione francese il Cremona aggiunge che egli ha pure scartato per analoghe ragioni la soluzione aritmetica: $n=10$ ,

$x_{1}=2,\,x_{2}=0,\,x_{3}=5,\,x_{4}=1,\,x_{5}=0,\,x_{6}=1,\,x_{7}=0,\,x_{8}=0$ .

[76] Pag. 215. In luogo delle considerazioni del testo, nella redazione francese trovasi riprodotto con qualche variante il ragionamento con cui Clebsch (Zur Théorie der Cremona ’schen Transformationen; Mathematische Annalen, vol. IV (1871), pag. 490) dimostra il teorema sopra enunciato. E dalla stessa Memoria di Clebsch è tolta la proprietà del determinante formato coi numeri $x_{s}^{(r)}$ , introdotti nella nota*) al n. 8 del presente lavoro.

[77] Pag. 240. Il teorema fu proposto dal Cremona nel Giornale di Matematiche: ove si trova pure enunciato un altro teorema del Cremona stesso, che è in un certo senso una estensione di quello (Cfr. queste Opere, pag. 67 del presente volume; 28, 30).

Il prof. T. A. Hirst, comunicando la Nota di Cremona al Messenger, la fece precedere dalle seguenti osservazioni:

The following’ elegant theorem and its geometrical demonstration are by prof. Cremona. Two algebraical demonstrations of the same, by M. M. Battaolini and Janni, have already appeared in the February Number of the Neapolitan Giornale di Matematiche [Vol. II (1864)].

For the sake of readers who may not have ready access to Cremona’s Introduzione ad una Teoria Geometrlca delie Curve Plane, it may be mentioned that, of all the anharmonic ratios determined by a system of four collinear points $a,b,c,\omega$ to three are there distinguished as fundamental ones, and denoted by the symbols $(abc\omega )$ , $(ac\omega b)$ , and $(a\omega bc)$ , where, generally, $(abc\omega )={\tfrac {ac}{cb}}:{\tfrac {a\omega }{\omega b}}$ . The system is termed eguianharmonic when these fundamental ratios are equal; their common value, in this case, is shewn to be equal to one of the imaginary cube roots of $-1$ . Accordingly, these are always two, real or imaginary points $\omega ,\omega '$ , which form with three given ones $a,b,c$ , an equianharmonic system. These two points $\omega ,\omega '$ are also shewn to be the double points, or foci, of the involution $aA,bB,cC$ , where $A,B,C$ are the respective harmonic conjugates of $a,b,c$ relative to the remaining two points $bc,ca,ab$ .