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conica qualunque non passante pel punto $PQ$; ecc. Nel primo di questi casi la Jacobiana è composta della retta $P$ e di una conica che sega $P$ ne’ due punti coniugati armonici rispetto alle coniche della rete; nel secondo caso la Jacobiana contiene due volte la retta $P$ ed inoltre quell’altra retta data che è polare di un punto di $P$ rispetto a tutte le coniche della rete; nel terzo caso la Jacobiana è composta delle due rette $P,Q$ e della corda di contatto di quella conica della rete che è tangente a $P$ e $Q$. [54]

Concludiamo pertanto che il problema "data una rete di coniche, trovare una cubica rispetto alla quale le coniche siano le polari dei punti del piano„ ammette una (una sola) soluzione sempre allorquando nella rete non vi sia alcuna conica che consista in due rette coincidenti. Se di tali coniche ve n’è una sola o ve ne sono due, il problema ammette o nessuna soluzione, o infinite soluzioni: e vi sono infinite soluzioni anche nel caso che la rete contenga tre di quelle coniche eccezionali. Nei casi in cui il problema è indeterminato, ciascuna soluzione è individuata col fissare ad arbitrio il polo di una conica della rete, [55] conica che non consista in due rette coincidenti.

Sulle curve di terz'ordine.

26. Sia $i$ un flesso di una data curva di terz’ordine ed $I$ la retta polare armonica di $i$. Siccome due tangenti della curva i cui punti di contatto siano in linea retta col flesso $i$ concorrono in un punto $m$ della retta $I$ e formano sistema armonico colla $mi$ e colla medesima $I$ (Introd. 139, a), così:

Le sei tangenti che si possono condurre ad una cubica, da un punto della polare armonica di un flesso sono accoppiate in involuzione, in modo che la corda di contatto di due tangenti coniugate passa pel flesso.¹

E siccome le polari armoniche dei flessi sono le medesime per tutte le cubiche sizigetiche alla data, così:

Dato un fascio di cubiche sizigetiche, se da un punto della polare armonica di un flesso si tirano coppie di tangenti alle cubiche in modo che la corda di contatto passi sempre pel flesso suddetto, quelle infinite coppie di tangenti formano un’involuzione, i cui raggi doppi sono la retta condotta al flesso e la polare armonica.

Siano $m_{1}m_{2}m_{3}$ tre punti presi ad arbitrio e rispettivamente nelle polari armoniche di tre flessi 123 situati in linea retta. Condotte per ciascuno de’ punti $m_{1}m_{2}m_{3}$ due tangenti alla cubica i cui punti di contatto siano in linea retta col flesso corrispondente, siccome le tre corde di contatto segano la curva in tre punti 1 2 3 che sono in una

1. Giornale di matematiche, t. 2, pag. 84 (Napoli 1864). [Queste Opere, n. 49].