Sopra alcune questioni nella teoria delle curve piane (Cremona)/3

by Luigi Cremona

Art. 3. Sui punti doppi delle curve di un fascio [42]

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Luigi Cremona - Sopra alcune questioni nella teoria delle curve piane (1864)

Art. 3. Sui punti doppi delle curve di un fascio [42]

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8. Le curve di un dato fascio d'ordine $n$ abbiano un punto $(r)$^plo $o$ comune, e siano $o',o''$ due punti fissati ad arbitrio nel piano (Introd. 88). Le polari di $o$ rispetto a quelle curve hanno in $o$ un punto $(r)$^plo colle stesse tangenti delle curve date, e queste tangenti formano un'involuzione di grado $r$. Invece le polari di $o'$ hanno in $o$ un punto $(r-1)$^plo e le loro tangenti sono aggruppate in un'involuzione di grado $r-1$. Le due involuzioni sono projettive ed un gruppo qualunque della seconda è (Introd. 74) la polare di $o'$ rispetto al fascio di rette costituenti il corrispondente gruppo della prima.

I due fasci di polari di $o$ ed $o'$, essendo projettivi, generano una curva d'ordine $2(n-1)$, la quale ha in $o$ un punto $(2r-1)$^plo e per tangenti i raggi comuni alle due involuzioni, i quali sono evidentemente la retta $oo'$ ed i raggi doppi dell'involuzione di grado $r$ (Introd. 19).

Analogamente le polari di $o$ ed $o''$ generano un'altra curva d'ordine $2(n-1)$, passante $2r-1$ volte per $o$ ed avente ivi per tangenti la retta $oo''$ ed i raggi doppi dell'involuzione di grado $r$.

Per tal modo le due curve d'ordine $2(n-1)$ hanno in $o$ un punto $(2r-1)$^plo e $2(r-1)$ tangenti comuni: epperò il punto $o$ rappresenta $(2r-1)^{2}+2(r-1)$ intersezioni delle medesime. Siccome poi $o$ tiene anche le veci di $r^{2}$ punti-base del fascio delle polari di $o$, e siccome $(2r-1)^{2}+2(r-1)-r^{2}=(r-1)(3r+1)$, così:

Se le curve di un fascio hanno un punto $(r)$^plo comune, questo equivale ad $(r-1)(3r+1)$ punti doppi del fascio medesimo.

9. Supponiamo ora che le curve del fascio dato abbiano, nel punto $(r)$^plo $o$, anche le $r$ tangenti comuni: nel qual caso una di quelle, chiamisi $C_{n}$, avrà $r+1$ rami incrociati in $o$ (Introd. 48).

Le polari di $o$ hanno un punto $(r)$^plo in $o$; ma la polare relativa a $C_{n}$ passa $r+1$ volte per questo punto. Il medesimo punto è multiplo secondo $r-1$ per le polari di $o'$, ad eccezione di quella che è relativa a $C_{n}$, la quale ha $r$ rami incrociati in $o$. I due fasci di polari essendo projettivi, generano una curva d’ordine $2(n-1)$ con un punto $(2r)$^plo in $o$ (Introd. 51).

Analogamente le polari di $o$ e di $o''$ generano un’altra curva dello stesso ordine, avente anch’essa $2r$ rami incrociati in $o$: ond’è che questo punto fa le veci di $4r^{2}$ intersezioni delle due curve d’ordine $2(n-1)$. D’altra parte $o$ rappresenta $r^{2}+r$ punti-base del fascio delle polari di $o$ (Introd. 32); dunque in $o$ sono riuniti $3r^{2}-r$ punti doppi del fascio dato.

10. Se delle tangenti comuni alle curve date in $o$ ve ne sono $s$ coincidenti in una retta $R$, questa toccherà in $o$ (Introd. 74) $s$ rami di ciascuna polare di $o$ ed $s-1$ rami di ciascuna polare di $o'$ e di $o''$: quindi anche ciascuna delle due curve d’ordine $2(n-1)$ avrà in $o$ un numero $s-1$ di tangenti riunite in $R$. In questo caso adunque, il punto $o$ rappresenta $4r^{2}+s-1$ intersezioni delle due curve suaccennate. Ossia:

Se le curve di un fascio hanno uno stesso punto $(r)$^plo ed in questo tutte le tangenti comuni, delle quali ve ne sia un numero $s$ di coincidenti in una retta unica, quel punto tien luogo di $r(3r-1)+s-1$ punti doppi del fascio.

Ed in particolare, se $s=r$, cioè se tutte le tangenti coincidono in una sola retta, il punto multiplo comune equivale a $3r^{2}-1$ punti doppi del fascio.

11. Si supponga invece che una sola curva $C_{n}$, tra quelle del dato fascio, passi $r$ volte per un punto $o$ ed ivi abbia $s$ tangenti riunite in una retta $R$. Allora la polare di $o$ rispetto a $C_{n}$ avrà $r$ rami incrociati in $o$ colle stesse tangenti di $C_{n}$. E la polare di un punto qualunque $o'$ rispetto alla medesima curva $C_{n}$ avrà in $o$ un punto $(r-1)$^plo con $s-1$ tangenti coincidenti in $R$. Quindi i fasci delle polari di $o$ e di $o'$ genereranno una curva d’ordine $2(n-1)$, avente un punto $(r-1)$^plo in $o$ ed $s-1$ tangenti riunite in $R$ (Introd. 51, g). Una curva analoga colle stesse proprietà sarà generata dalle polari di $o$ e da quelle di un altro punto qualunque $o''$: e per queste due curve d’ordine $2(n-1)$ il punto $o$ terrà luogo di $(r-1)^{2}+s-1$ intersezioni; dunque:

Se in un fascio vi ha una curva dotata di un punto $(r)$^plo con $s$ tangenti coincidenti, questo punto fa le veci di $(r-1)^{2}+s-1$ punti doppi del fascio.

12. Se il punto $o$, che è $(r)$^plo per $C_{n}$, appartiene anche (come punto semplice) alle altre curve del dato fascio, le quali in tal caso avranno ivi un contatto $(r)$^punto, le polari di $o$ passano tutte per $o$; epperò in questo punto si taglieranno $r$ rami di ciascuna delle curve d’ordine $2(n-1)$ generate dai fasci di polari. Ne segue che queste curve hanno $r^{2}+s-1$ intersezioni coincidenti in $o$. Ma in questo punto sono anche riuniti $r$ punti-base del fascio delle polari di $o$; dunque:

Se una curva di un fascio passa $r$ volte per uno de’ punti base ed ha ivi $s$ tangenti riunite, quel punto tien luogo di $r(r-1)+s-1$ punti doppi del fascio. [43]

Note