Sopra alcune questioni nella teoria delle curve piane (Cremona)/3

Art. 3. Sui punti doppi delle curve di un fascio [42]

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[p. 138 modifica]8. Le curve di un dato fascio d'ordine abbiano un punto plo comune, e siano due punti fissati ad arbitrio nel piano (Introd. 88). Le polari di rispetto a quelle curve hanno in un punto plo colle stesse tangenti delle curve date, e queste tangenti formano un'involuzione di grado . Invece le polari di hanno in un punto plo e le loro tangenti sono aggruppate in un'involuzione di grado . Le due involuzioni sono projettive ed un gruppo qualunque della seconda è (Introd. 74) la polare di rispetto al fascio di rette costituenti il corrispondente gruppo della prima.

I due fasci di polari di ed , essendo projettivi, generano una curva d'ordine , la quale ha in un punto plo e per tangenti i raggi comuni alle due involuzioni, i quali sono evidentemente la retta ed i raggi doppi dell'involuzione di grado (Introd. 19).

Analogamente le polari di ed generano un'altra curva d'ordine , passante volte per ed avente ivi per tangenti la retta ed i raggi doppi dell'involuzione di grado .

Per tal modo le due curve d'ordine hanno in un punto plo e tangenti comuni: epperò il punto rappresenta intersezioni delle medesime. Siccome poi tiene anche le veci di punti-base del fascio delle polari di , e siccome , così:

Se le curve di un fascio hanno un punto plo comune, questo equivale ad punti doppi del fascio medesimo. [p. 139 modifica]

9. Supponiamo ora che le curve del fascio dato abbiano, nel punto plo , anche le tangenti comuni: nel qual caso una di quelle, chiamisi , avrà rami incrociati in (Introd. 48).

Le polari di hanno un punto plo in ; ma la polare relativa a passa volte per questo punto. Il medesimo punto è multiplo secondo per le polari di , ad eccezione di quella che è relativa a , la quale ha rami incrociati in . I due fasci di polari essendo projettivi, generano una curva d’ordine con un punto plo in (Introd. 51).

Analogamente le polari di e di generano un’altra curva dello stesso ordine, avente anch’essa rami incrociati in : ond’è che questo punto fa le veci di intersezioni delle due curve d’ordine . D’altra parte rappresenta punti-base del fascio delle polari di (Introd. 32); dunque in sono riuniti punti doppi del fascio dato.

10. Se delle tangenti comuni alle curve date in ve ne sono coincidenti in una retta , questa toccherà in (Introd. 74) rami di ciascuna polare di ed rami di ciascuna polare di e di : quindi anche ciascuna delle due curve d’ordine avrà in un numero di tangenti riunite in . In questo caso adunque, il punto rappresenta intersezioni delle due curve suaccennate. Ossia:

Se le curve di un fascio hanno uno stesso punto plo ed in questo tutte le tangenti comuni, delle quali ve ne sia un numero di coincidenti in una retta unica, quel punto tien luogo di punti doppi del fascio.

Ed in particolare, se , cioè se tutte le tangenti coincidono in una sola retta, il punto multiplo comune equivale a punti doppi del fascio.

11. Si supponga invece che una sola curva , tra quelle del dato fascio, passi volte per un punto ed ivi abbia tangenti riunite in una retta . Allora la polare di rispetto a avrà rami incrociati in colle stesse tangenti di . E la polare di un punto qualunque rispetto alla medesima curva avrà in un punto plo con tangenti coincidenti in . Quindi i fasci delle polari di e di genereranno una curva d’ordine , avente un punto plo in ed tangenti riunite in (Introd. 51, g). Una curva analoga colle stesse proprietà sarà generata dalle polari di e da quelle di un altro punto qualunque : e per queste due curve d’ordine il punto terrà luogo di intersezioni; dunque:

Se in un fascio vi ha una curva dotata di un punto plo con tangenti coincidenti, questo punto fa le veci di punti doppi del fascio.

12. Se il punto , che è plo per , appartiene anche (come punto semplice) alle altre curve del dato fascio, le quali in tal caso avranno ivi un contatto punto, le polari di passano tutte per ; epperò in questo punto si taglieranno rami di ciascuna delle [p. 140 modifica]curve d’ordine generate dai fasci di polari. Ne segue che queste curve hanno intersezioni coincidenti in . Ma in questo punto sono anche riuniti punti-base del fascio delle polari di ; dunque:

Se una curva di un fascio passa volte per uno de’ punti base ed ha ivi tangenti riunite, quel punto tien luogo di punti doppi del fascio. [43]

Note